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课时跟踪检测（三十） 数列求和
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则S7＝________. 解析：设Sn＝An＋Bn，
??S3＝9A＋3B＝9，
由题知，?
?S5＝25A＋5B＝25，?
2
解得A＝1，B＝0，
所以S7＝49. 答案：49 2．数列{1＋2
n－1
}的前n项和为________．
n－1
解析：由题意得an＝1＋2
n，
1－2n所以Sn＝n＋＝n＋2－1.
1－2答案：n＋2－1
3．数列{an}的通项公式是an＝(－1)(2n－1)，则该数列的前100项之和为________． 解析：根据题意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－?－197＋199＝2×50＝100. 答案：100
4．已知正项数列{an}满足an＋1－6an＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：因为an＋1－6an＝an＋1an， 所以(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0， 因为an>0，所以an＋1＝3an，
又a1＝2，所以{an}是首项为2，公比为3的等比数列， 2?1－3?n所以Sn＝＝3－1.
1－3答案：3－1
5．(2018·广西高三适应性测试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n，则数列?前n项和Tn＝________.
??1，n＝1，
解析：因为an＝?22
?n－?n－1?，n≥2?
2
2
2
2
2
nnnn1?
?的
a－1n＋1??
?
??1，n＝1，
＝?
?2n－1，n≥2，?
所以an＝2n－1. 所以1?111?1
＝＝?－?， 2
an＋1－1?2n＋1?－14?nn＋1?
11?1?111
所以Tn＝?1－＋－＋?＋－
nn＋1?4?223?
1?1?n＝?1－＝. ?n＋1?4n＋44?答案：
n 4n＋4
n6．若数列{an}满足an－(－1)an－1＝n(n≥2)，Sn是{an}的前n项和，则S40＝________. 解析：当n＝2k时，即a2k－a2k－1＝2k，① 当n＝2k－1时，即a2k－1＋a2k－2＝2k－1，② 当n＝2k＋1时，即a2k＋1＋a2k＝2k＋1，③ ①＋②得a2k＋a2k－2＝4k－1， ③－①得a2k＋1＋a2k－1＝1，
S40＝(a1＋a3＋a5＋?＋a39)＋(a2＋a4＋a6＋a8＋?＋a40)＝1×10＋(7＋15＋23＋?＋79)
10?7＋79?＝10＋＝440.
2
答案：440
二保高考，全练题型做到高考达标
?1?
1．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列??的前
?an?
5项和为________．
9?1－q?1－q3
解析：设{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得＝，所以1＋q＝9，得
1－q1－q3
6
?1?5
1－???1?1?2?31
q＝2，所以??是首项为1，公比为的等比数列，前5项和为＝.
2116?an?
1－2
31答案： 16
2．已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)且b1
＝a2，则|b1|＋|b2|＋|b3|＋?＋|bn|＝________.
解析：由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4， 所以bn＝(－3)×(－4)所以|bn|＝3×4
n－1
n－1
，
，
即{|bn|}是以3为首项，4为公比的等比数列． 3?1－4?n所以|b1|＋|b2|＋?＋|bn|＝＝4－1.
1－4答案：4－1
3．已知数列5,6,1，－5，?，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16＝________.
nn
解析：根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数列重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.
又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7. 答案：7
4．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项为2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：因为an＋1－an＝2，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋?＋(a2－a1)＋a1＝22
n－2
nn－1
n＋
2－22－2nnn＋1
＋?＋2＋2＋2＝＋2＝2－2＋2＝2，所以Sn＝＝2－2.
1－21－2
2
nn＋1
答案：2
n＋1
－2
5．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝________.
解析：依题意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝
答案：n(n＋1)
6．在等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝2，若某学生对其中连续10项进行求和，在漏掉一项的前提下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为________．
解析：由已知条件可得数列{an}的通项公式an＝2n＋1，设连续10项为ai＋1，ai＋2，ai＋3，?，
n?2＋2n?
2
＝n(n＋1)．
ai＋10，i∈N，设漏掉的一项为ai＋k,1≤k≤10，由
?ai＋1＋ai＋10?×10
－ai＋k＝185，得(2i＋3
2
＋2i＋21)×5－2i－2k－1＝185，即18i－2k＝66，即9i－k＝33，所以34≤9i＝k＋3443
33≤43,3<≤i≤<5，所以i＝4，此时，由36＝33＋k得k＝3，所以ai＋k＝a7＝15，故
99此连续10项的和为200.
答案：200
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了________里．
1
解析：由题意知，每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则
2378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．
a1?1－6?2
??
1??
11－
2
＝
答案：96
8．已知数列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，则{an}的前100项和为________． 解析：由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，得a2n＋a2n＋1＝n＋1，所以a1＋(a2＋a3)＋(a4
＋a5)＋?＋(a98＋a99)＝2＋2＋3＋?＋50＝1 276，因为a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，所以a1＋a2＋?＋a100＝1 276＋13＝1 289.
答案：1 289
9．(2018·苏北四市期末)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a，(an＋1)(an＋1
＋1)＝6(Sn＋n)，n∈N.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若对于?n∈N，都有Sn≤n(3n＋1)成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当n＝1时，(a1＋1)(a2＋1)＝6(S1＋1)，故a2＝5. 当n≥2时，(an－1＋1)(an＋1)＝6(Sn－1＋n－1)，
所以(an＋1)(an＋1＋1)－(an－1＋1)(an＋1)＝6(Sn＋n)－6(Sn－1＋n－1)， 即(an＋1)(an＋1－an－1)＝6(an＋1)． 又an>0，所以an＋1－an－1＝6，
所以a2k－1＝a＋6(k－1)＝6k＋a－6，a2k＝5＋6(k－1)＝6k－1，
??3n＋a－3，n为奇数，故an＝?
?3n－1，n为偶数.?
**
1
(2)当n为奇数时，Sn＝(3n＋a－2)(n＋1)－n，
23n＋3n＋2
由Sn≤n(3n＋1)，得a≤恒成立，
n＋1
3n＋3n＋23n＋9n＋4
令f(n)＝，则f(n＋1)－f(n)＝>0，
n＋1?n＋2??n＋1?所以a≤f(1)＝4.
1
当n为偶数时，Sn＝n(3n＋a＋1)－n，
2由Sn≤n(3n＋1)得，a≤3(n＋1)恒成立， 所以a≤9.
又a1＝a>0，所以实数a的取值范围是(0,4]．
10．(2018·宿迁中学调研)已知各项均为正数的数列{an}的首项a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1(λ≠0，n∈N)．
(1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值；
*
2
2
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