(0464)《高等几何》复习思考题

（0464）《高等几何》复习思考题

填空题

1._______，称为仿射不变性和仿射不变量. 2.共线三点的简比是_______不变量.

3.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一_______. 4.点坐标为(1，0，0)的方程是_______.

2?u25.u12 =0代表点_______的方程.

6.已知共线四点A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，则(CA，BD)=_______. 7.平行四边形是______不变图形。

8.在仿射变换下，任何一对对应三角形面积之比等于______。 9. 三角形的______心是仿射不变性。

10 .斜率为k的直线上的无穷远点的齐次坐标是______。 11.点坐标(0，0，1)的方程是______。

12.设A、B、C、D为共线四点，交比(AB，CD)定义为______。 13.两个射影点列成透视的充要条件是______。

14.欧几里得几何是研究______群下图形的不变性质。 15.在配极对应下，点列与线束之间的对应是______的。 16.二直线间的平行性是_______不变性。 17.一直线上任两线段的比是仿射_______。

18.在欧氏直线补充了_______以后，称此直线为射影直线。 19.点坐标(0，1，0)的方程是_______。

20.已知共线四点A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，则(BA，CD)=_______。

21.射影直线上互异的四点A、B、C、D，若有(AB，CD)<0则A，B_______C，D 。 22.射影几何的基本不变性质是_______。

23.二级曲线就是两个射影__________的全体。

24.设A、B、C为共线三点，这三点的简比定义为(ABC)=_______。 25.在仿射变换下，任何一对对应多边形面积之比等于_______。 26.平面内的透视仿射是由_______完全决定。 27.平面射影几何对偶原理是_______。 28.方程u1-u2+2u3=0代表点_______的方程。

29.重叠而又成_______的两个一维几何形式，一般有两个自对应元素。

30.射影直线上互异的四点A、B、C、D，若有(AB，CD)>0，则A，B_______C，D。 31.仿射几何是研究仿射群下图形的_______性质。 32 .欧氏几何的基本不变性是________ 33．正方形是_________________不变图形。 34．射影平面上_________________线是不存在的。

35．罗氏几何的一个重要定理，任何三角形的内角和_________________两直角。 36．直线2x-y+1=0上无穷远点的齐次坐标是__________。 37．自配极三角形是__________。

38．二次曲线在无穷远点处的切线叫做__________。

39．无穷远点关于二次曲线的有穷极线是二次曲线的_________。 40．无穷远直线关于二次曲线的的极点是二次曲线的_________。

计算下列各题

1.求直线x-2y+3=0上无穷远点的坐标。 2.求仿射变换

?x??7x?y?1 ?y?4x?2y?4??的不变点.

3.求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比. 4.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束 x1-λx3=0与x2-??x3=0 (??=

??1)所决定的. ??25.求二次曲线2x2+xy-3y2+x-y=0的渐近线.

6.求x1+x2+x3=0, x1－x3=0的交点与直线x2+x3=0上的无穷远点连线的方程。 解：

7.设P1,P2分别为y轴、x轴上的无穷远点，P3是斜率为1的直线上的无穷远点，又(P1P2,P3P4)=1求P4的坐标.

8.试求已知直线3x-y+6=0关于二阶曲线x2-2xy+y2+2x-6y=0的极点。 9.试求二次曲线x2+4xy-4y2+2x-10y=0的中心

10.已知点(0，0)、(1，1)、(1，-1)分别仿射对应点(2，3)、(2，5)、(3，-7)，求此仿射变换。 11.设P1、P2、P4三点的坐标为(1，1，1)、(1，-1，1)、(1，0，1)且(P1P2，P3P4)=2，求点P3的坐标。

12. 求点P(1，2)关于二阶曲线x2+2xy-y2+2x+1=0的极线方程。 13.求二次曲线x2+2xy+2y2+4x+2y+1=0的中心。

14.已知一直线通过坐标原点，斜率为2，试求该直线的线坐标。 15.若(ab,cd)=λ(ad,bc) 求(1)λ的取值范围；

(2)若a,b,c,d成调和共轭，求λ的值。 16.试求点(-1，1)关于二阶曲线。

x2-3xy+y2-2x-y-1=0的极线。

17.试求二次曲线x2+2xy-y2+2x+1=0的渐近线方程。 18..已知点（0，0），（1，1），（1，-1）分别仿射对应点（2，3），（2，-5）， （3，7），求此仿射变换。

19.求直线（1，1，2）与两点（2，4，-1），（3，-3，1）的连线的交点坐标。 ?x??3x-y?120．求仿射变换? 的不变点

?y?2x?4y-1?21．经过A（-3，2）和B（6，1）的直线AB与直线x+3y-6=0相交于P，求（ABP）。 22．求连接两点A=（-2，1）与B=（3，2）所得直线的齐次坐标。

23．求二次曲线x2+4xy-2y2+10x+4y=0的中心。