高等数学幂级数专项练习

数为

?an??n?1?n，这是一个正项级数，其敛散性的判别应先想到比值判别法，即后项比n?1n!?n2前项的极限是大于1还是小于1来判定。因为

nan?1(n?1)n!121lim?lim?n?lim(1?)??e?0?0?1， n??an??(n?1)!n??nn?1nn2n?12于是

?an收敛，因此limn?1?n?0。

n??n!n22n?n!例2 求lim

n??nn分析 与例1同理，步骤自己完成。 例3 求lim1。

n??(lnlnn)lnn分析 对应的级数为

?(lnlnn)n?2?1lnn，但这个正项级数用比值判别法判别敛散性有点困难，

于是改用其他方法判别，例如比较判别法，因为

(lnlnn)lnn?elnn?ln(lnlnn)?(elnn)ln(lnlnn)?nln(lnlnn)?n2，

??1111p?所以，而收敛（这是的级数），所以也收p?2???lnnlnn22(lnlnn)nn?1nn?2(lnlnn)敛，所以lim1?0。

n??(lnlnn)lnn四、无穷小阶的比较

所谓无穷小，就是当自变量有某个变化趋势时，函数?(x)?0，则?(x)称为无穷小，即极限值为零的量称为无穷小量。如果在自变量的同一变化过程中，有?(x)?0和则?(x)与?(x)趋于零的速度就会有快慢之分，这就是无穷小阶的比较的实质。?(x)?0，

一般地，趋于零的速度越快，则越高阶；趋于零的速度越慢，则越低阶。那么怎样判断两个无穷小量趋于零的速度的快与慢呢？下面我们一起看看无穷小阶的比较的定义：

?0,??(x)??,定义1 lim???(x)?A(?0,1),?1,?定义2 若lim则称?(x)比?(x)高阶无穷小;则称?(x)比?(x)低阶无穷小;则称?(x)与?(x)同阶但不等价无穷小;则称?(x)与?(x)等价无穷小;

?(x)?A(A?0,?)，则称?(x)是?(x)的k阶无穷小。 k?(x)由定义可知，两个无穷小阶的比较的判别，就是看这两个无穷小之比的极限值情况。 在无穷小阶的比较中，用得很多的是等价无穷小的情况，请大家一定要记得一些常见的等价量。

例1 设x?0时，(1?cosx)ln(1?x2)是比xsinx高阶的无穷小，xsinx是比

nne?1高阶的无穷小，求正整数n。

分析 这里的三个无穷小(1?cosx)ln(1?x2)、xsinx、enx2x2?1都比较复杂，于是我

14x， 2们可以考虑用它们各自的等价无穷小代换，即当x?0时，(1?cosx)ln(1?x2)∽

xsinx∽x体过程是：

nn?1，ex21?1∽x2，于是我们只要对x4、xn?1和x2进行阶的比较就行了。具

2(1?cosx)ln(1?x2)1x413?n?lim?limx?0， 例1解 因为 limnn?1x?0x?0x?022xsinxx所以3?n?0，即n?3；（注意3?n是常数，则有三种情况：3?n?0、3?n?0和

3?n?0，用排除法排除前两种情况。）

xn?1n?1又因为lim2?lim?limx?0，所以n?1?0，即n?1；

xx?0x?0x2x?0e?1因此即n?2；

tanx?ex是xn的同阶无穷小，求正整数n。 例2 设x?0时， exsinxn分析 此题中无穷小e我们将etanxtanx?ex是比较复杂的，但是它又没有等价无穷小代换，怎么办呢？

?ex与ex?1作个比较，发现前者可以通过恒等变形变为后者，而后者是有等

tanxx?x（因为?ex?ex(etan?1)∽ex(tanx?x)∽tanx?x，

价无穷小代换的，即elimex?1，通过边走边丢法，就可以得出）。具体过程如下：

x?0etanx?exex(etanx?x?1)etanx?x?1?lim?lim例2解 因为lim nnnx?0x?0x?0xxxtanx?xsec2x?1tan2x?lim?limn?1 ?limnn?1x?0x?0x?0nxxnxx213?n?k?0， ?limn?1?limxx?0nxx?0n所以n?3。

例3 当x?0时，f(x)?sin(sin2x)?cosx是g(x)?3x2?4x3的 C 无穷小。 （A）高阶 （B）低阶 （C）同阶不等价 （D）等价 分析 当问?(x)是（或比）?(x)的 阶无穷小时，一定要将前者写在分子上，后者写在分母上，再看比值的极限值，利用定义1即可。

例4 当x?0时，将下列无穷小按低阶到高阶的顺序排列： （A）1?ex （B）cosx2?1 （C）ln(1?sin2x) （D）(1?x)?1

133分析 当两个无穷小阶的比较时，可以通过它俩的比值的极限值来判别；但是如果是三个或三个以上的无穷小阶的比较，若要用两两比值的极限值做，显然挺麻烦的！于是我们可以通过各自的等价无穷小来替换（原因是等价无穷小的两个量，实际上趋于零的速度是相同的），在此题中有：1?e133x∽?s2?1∽?x， cox14x，ln(1?sin2x)∽sin2x∽x2，2111(1?x)?1∽x3；因此只要比较四个幂函数?x、?x4、x2和x3的大小了。

323例5 当x?0时，确定下列各无穷小是x的几阶无穷小：（1）ln(1?sinx)； （2）x?sinx；（3）x?10x；（4）

322x61?cosx2；（5）x?x?x；

分析 要确定某个无穷小是x的几阶无穷小（定义2），则需要有些比较的方法，主要有：

方法1：用等价无穷小代换； 方法2：用洛必达法则； 方法3：用下列结论： 若f(x)是

x的n阶无穷小，g(x)是x的m阶无穷小，则①f(x)?g(x)是x的

f(x)是x的m?n阶无穷g(x)min(m,n)阶无穷小；②f(x)?g(x)是x的m?n阶无穷小；③

小；④f(x)是x的kn阶无穷小。

方法1和方法2大家会比较熟悉，因此请大家好好看看方法3。

例5解 （1）（用方法1做） 当x?0时，ln(1?sinx)∽sin2x∽x2，所以

2kln(1?sin2x)是x的二阶无穷小；

（2）（用方法2做和方法1做） 因为

12xx?sinx1?cosx13?k2lim?lim?lim?limx?A?0， kk?1k?1x?0x?0x?0x?02kxkxkx所以3?k?0，即k?3，因此x?sinx是x的三阶无穷小。

（3（用方法3的①做） 因为f(x)?x是x的三阶无穷小，g(x)?10x是x的二阶无穷小，所以f(x)?g(x)是x的二阶无穷小。

232（4（）用方法1做） 因为1?cosx?1?cosx21?cosx2∽

14（因为lim1?cosx2?2，x

x?0414x6，所以是x1?cosx∽x，所以由边走边丢法和等价无穷小代换法得出的）

221?cosx2的二阶无穷小。

34123412（5）因为x?x?x?x?x?x?1∽x （因为limx?x?1?1，

x?088因此通过边走边丢法可得），所以x?1x?x是x的阶无穷小。

8例6 当x?0时，确定下列各无穷小是x的几阶无穷小：

x2x3(1?x)43253tanx（1）； （2）； （3）； （4） x?xsinxtantdt；2?01?x分析 解法同上例

（1）（边走边丢法和等价法） 三阶； （2）（方法3中①结论） （3）（等价法）

2阶； 31阶； （4）（洛必达法则，和上例5中（2）的做法一样的）六阶 5五、确定极限中的常数

已知含有未知常数的函数的极限值，求未知常数，这就是“确定极限中的常数”问题。此类问题实质上就是求函数的极限，因此我们前面介绍的函数极限的求法，请大家一定要掌