[新导学案]高中数学人教版必修四：2.5《平面向量应用举例》

2.5《平面向量应用举例》导学案

【学习目标】

1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析 几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题. 2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题. 【学法指导】

预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。

[来源:Zxxk.Com]【知识链接】

阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在思考一下几个问题：

例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？ 利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？ 例3中，⑴?为何值时，|F1|最小，最小值是多少？ ⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？ 提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

【学习过程】

疑惑内容 rrrrrr探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a?b，则|a|?|b|，且a,b所在直线平行或重合＂相类

比，你有什么体会？

（２）举出几个具有线性运算的几何实例．

例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 已知：平行四边形ABCD．

求证：AC?BD?AB?BC?CD?DA．

试用几何方法解决这个问题

利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？ （1） 建立平面几何与向量的联系， （2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， （3） 把运算结果“翻译”成几何关系。

222222uuurruuurr变式训练：?ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设AB?a,AC?b.

（1）证明A、O、E三点共线；

uuurrr（2）用a,b.表示向量AO。

例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的 中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些力的问题是怎么回事？

例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？

请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题： ⑴?为何值时，|F1|最小，最小值是多少？ ⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度d?500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？

[来源:学科网][来源学。科。网]

变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为

sA?(4,3),sB?(2,10)，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s; (2)计算s在sA方向上的投影。

【学习反思】

结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题

代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。

本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题的步骤。 【基础达标】

1.已知?ABC中，a?2,b?3,C?60，求边长c。

2.在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长。

3.在平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点且处于平衡状态，F1?1N,F2?夹角为45，求：（1）F3的大小；（2）F1与F3夹角的大小。

【拓展提升】 一、选择题

1.给出下面四个结论： ① ② ③

o06?2N,F1与F2的2uuuvuuuvuuuv若线段AC=AB+BC，则向量AC?AB?BC； uuuvuuuvuuuvAC?AB?BC若向量，则线段AC=AB+BC； vuuuvuuu若向量AB与BC共线，则线段AC=AB+BC;

④

uuuvuuuv若向量AB与BC反向共线，则AB?BC?AB?BC.

其中正确的结论有 （ ）

A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.河水的流速为2ms，一艘小船想以垂直于河岸方向10ms

的速度驶向对岸，则小

船的静止速度大小为 （ ） A.10ms B. 226ms C. 46ms D.12ms3.在?ABC中，若(CA?CB)?(CA?CB)=0，则?ABC为 ( ） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 二、填空题

4.已知?ABC两边的向量AB?e1,AC?e2，则BC边上的中线向量AM用e1、e2表示为 5.已知OP1?OP2?OP3?0，OP1?OP2?OP3?1，则OP3两两夹角是 1、OP2、OP