河南省一级达标学校五校联考2018-2019学年高二下学期期中数学试卷(文科)有解析

有A?B，则，解得m≤1﹣e2．

2

2

综上，实数m的取值范围为（﹣∞，1﹣e]∪[e﹣1，+∞）． 故选：A．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在复平面内，复数

（i为虚数单位）对应的点与原点的距离是

．

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数代数形式乘除运算化简求得复数【解答】解：∵∴复数故答案为：

14．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆【考点】K7：抛物线的标准方程．

【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆

根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程 【解答】解：由题意椭圆

，故它的右焦点坐标是（2，0），

的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，

的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 x=﹣2 ．

=

，

．

对应的点的坐标，再由两点间的距离公式求解．

对应的点的坐标为（1，﹣1），与原点的距离是．

又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，

故=2得p=4，

∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2． 故答案为：x=﹣2

15．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

．

【解答】解：∵y=x3，

∴y'=3x，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3； 所以曲线在点（1，1）处的切线方程为： y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0． 令y=o得：x=，

∴切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为： S=×（2﹣）×4= 故答案为：．

16．给定下列命题：

①“若m＞0，则方程x2+2x﹣m=0有实数根”的逆否命题； ②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件． ③“矩形的对角线相等”的逆命题；

④全称命题“?x∈R，x+x+3＞0”的否定是“?x0∈R，x0+x0+3≤0” 其中真命题的序号是 ①②④ ．

【考点】2K：命题的真假判断与应用；25：四种命题间的逆否关系；2J：命题的否定；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】①只需求△，②由原命题和逆否命题同真假，可判断逆否命题的真假，③④按要求写出命题再进行判断． 【解答】解：①△=4+4m＞0，所以原命题正确，根据其逆否命题与原命题互为逆否命题，真假相同 故其逆否命题是真命题，因此①正确；

②x2﹣3x+2=0的两个实根是1或2，因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故②正确； ③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．

④：“?x∈R，x2+x+3＞0”的否定是“?x∈R，有x2+x+3≤0”，是真命题； 故答案为①②④．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．求双曲线16x﹣9y=﹣144的实轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程． 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】双曲线16x2﹣9y2=﹣144可化为心率和渐近线方程．

，可得a=4，b=3，c=5，从而可求双曲线的实轴长、焦点坐标、离

2

22

2

2

【解答】解：双曲线16x﹣9y=﹣144可化为所以a=4，b=3，c=5，

22

，

所以，实轴长为8，焦点坐标为（0，5）和（0，﹣5）， 离心率e==，渐近线方程为y=±

18．已知函数f（x）=x﹣3x+1 （Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）求曲线在点（0，f（0））处的切线方程．

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根据二次函数的图象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由导数与函数单调性关系求出f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）由导数的几何意义求出f′（0）：切线的斜率，由解析式求出f（0）的值，根据点斜式求出曲线在点（0，f（0））处的切线方程，再化为一般式方程．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）=0得x=±1，

当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞）时，f′（x）＞0， ∴函数f（x）在（﹣1，1）上 递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上递增， 当x=﹣1时取到极大值是f（﹣1）=3，当x=1取到极小值f（1）=﹣1．? （Ⅱ）由f′（x）=3x2﹣3得，f′（0）=﹣3，

∵f（0）=1，∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程是y﹣1=﹣3x 即3x+y﹣1=0．?

19．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0} （Ⅰ）若A∩B=?，A∪B=R，求实数a的值； （Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 【考点】27：充分条件；1C：集合关系中的参数取值问题．

【分析】（Ⅰ）把集合B化简后，由A∩B=?，A∪B=R，借助于数轴列方程组可解a的值；

（Ⅱ）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}， 由A∩B=?，A∪B=R，得

，得a=2，

3

=．

所以满足A∩B=?，A∪B=R的实数a的值为2；

（Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A?B，且A≠?，所以结合数轴可知，

a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，

所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．

20．禽流感是家禽养殖业的最大威胁，为检验某种药物预防禽流感的效果，取80只家禽进行对比试验，得到如下丢失数据的列联表：（其中c，d，M，N表示丢失的数据）．

没服用药 服用药 总计 患病 25 c M 未患病 15 d N 总计 40 40 80 工作人员曾记得3c=d．

（1）求出列联表中数据c，d，M，N的值；

（2）能否在犯错误率不超过0.005的前提下认为药物有效？

下面的临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=

【考点】BO：独立性检验的应用．

【分析】（1）由题意列出方程组，即可求得c和d的值及M和N的值；

（2）根据列联表中的数据代入求观测值的公式，做出观测值，把所得的观测值K2同参考数据进行比较，当K2＞7.879，即可判断在犯错误率不超过0.005的前提下认为药物有效． 【解答】解：（1）由题意可知：M=25+10=35，N=15+30=45；

数据c，d，M，N的值分别为：10，30，35，45； （2）K=

2

，其中n=a+b+c+d）

，解得；

=11.43＞7.879，

∴在犯错误率不超过0.005的前提下认为药物有效．

21．已知椭圆C：

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的面积的最大值． 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】（1）由题意可知：2b=2C的标准方程； （

2

）

设

直

线

l

的

方

程

为

x=my+1

，

代

入

椭

圆

方

程

，

则

，b=

，椭圆的离心率e==，则a=2c，代入a2=b2+c2，求得a，即可求得椭圆的短轴长为2

，离心率e=，