李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(20130824)

?5需要计算到10，取??3.1415926。x*?x(7)?1.8955 求重根迭代法（4.14） xk?1?xk?f(xk)f?(xk)[f?(xk)]2?f(xk)f??(xk)2?sinx?0.5x??2?sinx?0.5x??cosx?0.5?? ?22?2?sinx?0.5x??cosx?0.5????sinx?0.5x???2sinx?cosx?0.5???5需要计算到10，取??3.1415926。x*?x(13)?1.8955。 注：matlab编程计算得出的结果。 12. 应用牛顿法于方程x3?a?0，导出求立方根3a的迭代公式，并讨论其收敛性。 f(xk)xk3?a1?a?xk?1?xk??xk??2x??k?f?(xk)3xk23?xk2? f(xk)1?a??xk??2xk?2??xkf?(xk)3?xk?xka?xk3a???3xk233xk2xk?1?xk?xk? a?xk3xk?1?xk??023x?a3xk当0时，，说明迭代数列递增。 a?xk3xk?1?xk??0233xk当x0?a时，，说明迭代数列递减。 f(xk)xk3?a1?a?x?x??x??2x??k?是收敛的。 因此，迭代公式k?1kkf?(xk)3xk23?xk2?13. 应用牛顿法于方程f(x)?1?值。 af(xk)xk2xk?1?xk??xk?f?(xk)2axk?31??3axk?2?1??3axk?xk3???????3?2ax2a?k???xk33?xk?22aa?0，导出求a的迭代公式，并求115的x2 x0?10x1?10.6522令x2?10.7231 x3?10.7238x4?10.723814. 应用牛顿法于方程f(x)?xn?a?0和f(x)?1?迭代公式，并求lim(na?xk?1)/(na?xk)2。 k??an?0，分别导出求a的nxf(x)?xn?a?0的迭代公式： f(xk)xkn?axk?1?xk??xk?f?(xk)nxkn?1(n?1)xkn?a?nxkn?1?n?1axk?nnxkn?1nn limk??a?xk?12a?(a?xk)n?limk??(n?1)axk?n?1nnxk(a?xk)n2?limk??n(n?1)(a?xk)n?2(na?xk)nxk?limk??n?1?n(n?1)xkn?1n?2n[nnaxk?(n?1)xk]?limk??(n?1)2[nna?(n?1)xk] ?(n?1)2[nna?(n?1)na]?1?n2na f(x)?1?a?0nx的迭代公式 f(xk)1?axk?nxk?1?xk??xk?f?(xk)naxkn?1(n?1)axk?n?1?naxk?n?1xkn?1n?1?xk?nna n?1(n?1)axk?xka?n?1na?xk?1nana?(n?1)axk?xknalimn?lim?lim22nk??k??k??(a?xk)(a?xk)na(na?xk)2n?limk??n?(n?1)a?(n?1)xk?2na(a?xk)n?1nnn?1(n?1)nxk?lim?limnk??2na?2na(a?xk)k??n(n?1)(xk?a) ?(n?1)a2a?n?12na2xk(xk?3a)是计算a的三阶方法。假定初值x0充分靠?23xk?a15. 证明迭代公式xk?1近x*，求lim(a?xk?1)/(a?xk)2。 k??解： 2xk(xk?3a)a?23xk?alimk??a?xk?1(a?xk)3?limk??(a?xk)?lim3?limk??22a(3xk?a)?xk(xk?3a)2(a?xk)3(3xk?a) ?limk??(a?xk)32(a?xk)3(3xk?a)111??k??3x2?a3(a)2?a4ak16.用抛物线法求多项式p(x)?4x4?10x3?1.25x2?5x?1.5的两个零点，再利用降阶求出全部零点。 22??3x1?x2?0T17.非线性方程组? 在 附近有一个解，构造一个不动(0.4,0.7)233xx?x?1?0?1?12点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到10?5（按??）。 ?x2?y2?1T?(0)x?1.6,1.218.用牛顿法解方程组?2 取。 ??2??x?y?1