李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(20130824)

所以迭代方法发散。 ?34）设?(x)?x?1，则??(x)?x2(x3?1)2，从而 213319?29??(1.5)??1.5()??1，所以迭代方法发散。 283813. 比较求ex?10x?2?0的根到三位小数所需的计算量： 1）在区间?0,1?内用二分法； 2）用迭代法xk?1?(2?exk)/10，取初值x0?0。 [解]1）使用二分法，令f(x)?ex?10x?2，则 f(0)??1，f(1)?e?8，有根区间为?0,1?； f(0.5)?e0.5?3?0，有根区间为?0,0.5?； f(0.25)?e0.25?0.5?0，有根区间为?0,0.25?； f(0.125)?e0.125?0.75?0，有根区间为?0,0.125?； 113?11?f()?e16???0.5605?0，有根区间为?,?； 168?168?317?13?f()?e32??0.03578?0，有根区间为?,?； 3216?1632?539?53?f()?e64??0，有根区间为?,?； 6432?6432?1173?113?f()?e128??0，有根区间为?,?； 1286412832??23141?233?f()?e256??0，有根区间为?,?； 256128?25632?47277?2347?； f()?e512??0，有根区间为?,?512256256512??93559?2393?； f()?e1024??0，有根区间为?,?1024512?2561024?93472311531从而x*?12393185(?)??0.090332，共二分10次。 2256102420482）使用迭代法xk?12?exk2?e02?e0.1??0.1，x2??0.0894829，则x1?， 1010102?e0.08948292?e0.0906391x3??0.0906391?0.0905126，x4?， 1010即x*?x4?0.0905126，共迭代4次。 4. 给定函数f(x)，设对一切x，f?(x)存在且0?m?f?(x)?M，证明对于范围0???2/M内的任意定数?，迭代过程xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)?0的根x*。 [证明]由xk?1?xk??f(xk)可知，令?(x)?x??f(x)，则??(x)?1??f?(x)，又因为0?m?f?(x)?M，0???格式收敛。 5.用斯特芬森迭代法计算第2题中（2）和（3）的近似根，精确到10?5。 斯特芬森迭代法是一种加速的方法。是埃特金加速方法与不动点迭代结合。 6.设?(x)?x?p(x)f(x)?q(x)f2(x) ，试确定函数p(x)和q(x)，使求解f(x)?0且以?(x)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。 7. 用下列方法求f(x)?x3?3x?1?0在x0?2附近的根。根的准确值x*?1.87938524?，要求计算结果准确到四位有效数字。 2，所以1???(x)??1，即??(x)?1，从而迭代M（1）牛顿法 （2）弦截法，取x0?2,x1?1.9 （3）抛物线法，取x0?1,x1?3,x2?2 [解]1）xk?133f(xk)xk?3xk?12xk?1，x0?2， ?xk??xk??22f?(xk)3xk?33xk?3172()3?12?2?117105559x1???1.888889x???1.87945，迭代停止。 ，22173?2?3956163()2?393xk?1?xk?2）f(xk)(xk?xk?1)f(xk)?f(xk?1)3k?xk?x?3xk?1xkxk?1(xk?xk?1)?1(x?x)?kk?13322(xk?3xk?1)?(xk?3x?1)xk?xkxk?1?xk?1k?1?1?31.9?2?(1.9?2)?115.821582???1.881094 228.418411.9?1.9?2?2?3，x0?2，x1?1.9，x2?15821582?1.9?(?1.9)?1841x3?841158221582()??1.9?1.92?3，迭代停止。 8418419558143.42?84121026542442???1.87941154620432115822?1582?1.9?841?0.61?84123）xk?1?xk?f(xk)????4f(xk)f[xk,xk?1,xk?2]2，其中 ??f[xk,xk?1]?f[xk,xk?1,xk?2](xk?xk?1)，x0?1,x1?3,x2?2，故 f(x0)??3，f(x1)?17，f(x2)?1，f[x0,x1]?f(x1)?f(x0)17?(?3)??10， x1?x03?1f[x2,x1]?f(x2)?f(x1)1?17??16， x2?x12?3f[x1,x2]?f[x0,x1]16?10??6，??16?6(2?3)?10， x2?x02?11?2?110?76?1.9465745，下略。 f[x0,x1,x2]?x3?2?10?10?4?1?62 8. 分别用二分法和牛顿法求x?tanx?0的最小正根。 ?解：0是函数的一个根，0～时，x单调递增，tanx单调递减，趋于负无穷。2?在此区间内，函数没有根。所以，最小正根大于. 2?3?当x接近且大于时，函数值为正，当x接近且大于时，函数值为负。因此，22?3?最小正根区间为（,）,选择x1=2,函数值为-0.185<0,选择x2=4.6，函数22值为4.260>0 按二分法计算，略，x*?4.493424。 按牛顿迭代法，其迭代公式为 xk?tanxk??f(xk)xk?1?xk??xk?f?(xk)?1?ctanxk?9. 研究求a的牛顿公式xk?1?*x，取初始值x=4.6，得?4.493424 1a(xk?),x0?0，证明对一切k?1,2,?，2xkxk?a且序列x1,x2,?是递减的。 证： (xk?a)21a显然，xk?0，又因为xk?1?a?(xk?)?a??0，所以2xk2xka?xk1axk?a,k?1,2,?，又xk?1?xk?(xk?)?xk??0，所以序列是递2xk2xk减的。 10. 对于f(x)?0的牛顿公式xk?1?xk?f(xk)/f?(xk)，证明 Rk?(xk?xk?1)/(xk?1?xk?2)2收敛到?f??(x*)/(2f?(x*))，这里x*为f(x)?0的根。证： Rk?(xk?xk?1)/(xk?1?xk?2)2?f(xk?1)/f?(xk?1) ?2(?f(xk?2)/f?(xk?2))2Rk?1?(xk?1?xk)/(xk?xk?1)2?f(xk)/f?(xk) ?2(?f(xk?1)/f?(xk?1))Rk?1?Rk??f(xk)/f?(xk)?f(xk?1)/f?(xk?1) ?22(?f(xk?1)/f?(xk?1))(?f(xk?2)/f?(xk?2))2x??11. 用牛顿法（4.13）和求重根迭代法（4.14）计算方程f(x)??sinx???0 的2??一个近似根，准确到10?5 ，初始值x0?牛顿法（4.13），m=2。 xk??sinx?k?f(xk)2???xk?1?xk?m?xk?xk??1?f?(xk)?sinx?cosx?k?k? ??2??2??2?2 。