2019-2020学年同步人教A版高中数学必修3第三章 应用案巩固提升

[A 基础达标]

1．已知集合A＝{x|－1

1

A. 62C. 3

解析：选A.A∩B＝{x|2

因为集合A表示的区间长度为5－(－1)＝6，集合A∩B表示的区间长度为3－2＝1， 1

所以事件“x∈A∩B”的概率为，故选A.

6

2．(2019·湖南省张家界市期末联考)如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )

1

B. 34D. 5

πA. 81C. 2

1B. 81D. 4

1

解析：选D.由题意知，大圆的面积为S＝π·22＝4π；阴影部分的面积为S′＝π·22－π·12

2S′π1

＝π，则所求的概率为P＝＝＝.故选D.

S4π4

3．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )

1A. 31C. 2

2B. 33D. 4

解析：选B.先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2142

＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×13＝π.则点P到

2332

π3112

点O的距离小于或等于1的概率为＝，故点P到点O的距离大于1的概率为1－＝.

332π3

??0≤x≤2，

4．设不等式组?表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐

?0≤y≤2?

标原点的距离大于2的概率是( )

π

A. 4πC. 6

π－2B.

24－πD.

4

解析：选D.试验的全部结果是平面区域D，由于点到坐标原点的距离大于2，则点应该在圆x2＋y2＝22的外部．

画草图(图略)易知区域D是边长为2的正方形，到坐标原点的距离大于2的点在以坐标1

2×2－×π×224－π

4

原点为圆心，2为半径的圆的外部，所以所求的概率为＝.

42×2

5．(2017·高考江苏卷)记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．

3－（－2）

解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为＝

5－（－4）5. 9

5答案： 9

6．水池的容积是20 m3，水池里的水龙头A和B的水流速度都是1 m3/h，它们一昼夜(0～24 h)内随机开启，则水池不溢水的概率为________．

解析：如图所示，横坐标和纵坐标分别表示A，B两水龙头开启的时间，则阴影部分是满足不溢水的对应区域，因为正方形区域的面积为1

×20×2021

24×24，阴影部分的面积是×20×20，所以所求的概率P＝＝224×2425

. 72

25答案： 72

7．(2019·福建省三明市质量检测)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它是由正方形ABCD中四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH构成．现设直角

三角形的两条直角边长为3和4，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH内的概率为________．

解析：因为直角三角形的两条直角边长为3和4，所以正方形ABCD的边长为a＝32＋42＝5，

1

所以S正方形ABCD＝a2＝25，所以S正方形EFGH＝S正方形ABCD－4S△ABF＝25－4××3×4＝1，

2因此，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH内的概率为P＝S正方形EFGH1＝.

S正方形ABCD25

1

答案： 25

8．在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？

解：如图，边长为5 cm的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3 cm为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的329概率为P＝2＝.

525

9．小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点至七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？

解：如图所示，方形区域内任一点的横坐标x表示小强到达小明家的时间，纵坐标y表示小明离开家的时间，(x，y)可以看成平面中的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(x，y)|6≤x≤7，6.5≤y≤7.5}，这是一个正方形区域，面积为SΩ＝1×1＝1.事件A表示“小强能见到小明”，所构成的区域为A＝{(x，y)|6≤x≤7，6.5≤y≤7.5，y≥x}，如图中阴影部分所1117SA77

示，面积为SA＝1－××＝.所以P(A)＝＝，即小强能见到小明的概率是.

22288SΩ8

[B 能力提升]

1

10．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x

211

－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则( )

22

A．p1

B．p2

1

解析：选B.x，y∈[0，1]，事件“x＋y≥”表示的区域如图(1)中阴影部分S1，事件“|x

211

－y|≤”表示的区域如图(2)中阴影部分S2，事件“xy≤”表示的区域如图(3)中阴影部分

22S3.由图知，阴影部分的面积S2

11.(2019·河北省沧州市期末考试)如图，边长为23的正三角形ABC内接于圆O，点P为弧AC上任意一点，则△PBC的面积大于3的概率为________．

解析：因为△ABC的边长为23，所以△ABC的高为3，设外接圆O的半径为r，则2r＝

23

＝4，所以r＝2，所以O点到BC的距离为1，过点O作直线与BC

π

sin3

平行交弧AC于点D，△DBC的面积恰好为3，所以点P由D点向A点移动的过程中，△PBC的面积越来越大；点P由D点向C点移动的过程中，△PBC的面积越来越小，因此，为使△PBC的面积大于3，只需点P由D点向A点移动，所以由几何概型可知，△PBC的面积π2π大于3的概率等于∠AOD与角∠AOC大小之比．因为∠AOD＝，∠AOC＝，所以△PBC

23

π

2

3

的面积大于3的概率为P＝＝.

2π43