高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类

高中数学竞赛专题讲座之五： 《解析几何》各类竞赛试题选讲

一、选择题

1．（04湖南）已知曲线C：y?

?x2?2x与直线l:x?y?m?0有两个交点，则m的取值范围是(C)

D．(0,2?1)

（ ）

A．(?2?1,2) B．(?2,2?1) C．[0,2?1)

x2y22．（05全国）方程??1表示的曲线是

sin2?sin3cos2?cos3

A．焦点在x轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的椭圆

B．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线

3．（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L的距离分别是2,5?2，则满足条件的直线L共有（ C ）条.

A．1 解: 由AB?B．2

C．3

D．4

5,分别以A，B为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C.

4．（06安徽）过原点O引抛物线y?x2?ax?4a2的切线，当a变化时，两个切点分别在抛物线（ ）上

A．y?123x,y?x2 22B．y?325x,y?x2 22C．y?x2,y?3x2 D．y?3x2,y?5x2

5．若在抛物线y?ax2(a?0)的上方可作一个半径为r的圆与抛物线相切于原点O，且该圆与抛物线没有别的公共点，

则r的最大值是(A ) A．

11 B． 2aaC．a D．2a

6．（06江苏）已知抛物线y2=2px，o是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF

是直角三角形，则这样的点P共有(B) A．0个 B．2个 C．4个 D．6个

x2y27．（06全国）如图3，从双曲线2?2?1(a?0,b?0)的

ab左焦点F引圆x2?y2?a2的切线，切点为T．延长FT 交双曲线右支于P点.若M为线段FP的中点，O为坐 标原点，则|MO|?|MT|与b?a的大小关系为（ ）

A．|MO|?|MT|?b?a B．|MO|?|MT|?b?a C．|MO|?|MT|?b?a D．不确定

x2y2P是该双曲线右支上任意一点，8．（05四川）双曲线2?2?1的左焦点为F1，顶点为A1,A2，则分别以线段PF1,A1A2ab

为直径的两圆一定

A．相交 B．内切

（ ）

C．外切

D．相离

解：设双曲线的另一个焦点为F2，线段PF1的中点为C，在△F1F2P中，C为PF1的中点，O为F1F2的中点，从而OC?11|PF2|?(|PF1|?|A1A2|)，从而以线段PF1,A1A2为直径的两圆一定内切. 229．点A是直线l:y?3x上一点，且在第一象限，点B的坐标为（3，2），直线AB交x轴正半轴于点C，那么三角形AOC面积的最小值是（A ）

10．（02湖南）已知A（-7，0），B（7，0），C（2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C，且过A、B两点，此椭圆的另

一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263） A．双曲线 B．椭圆 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 11．（03全国）过抛物线y2?8(x?2)的焦点F作倾斜角为60O的直线。若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的

中垂线与轴交于点P，则线段PF的长等于（ ）（奥析263）

A．

16 3B．

8 3C．

163 3D．83

二、填空题

x2y2??1截得线段的中点的轨迹方程为 1．若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆

28x2y2??1上异于长轴端点的任意一点，F1、F2分别是其左、右焦点，O为中心，则2．（04湖南）设P是椭圆

169|PF1|?|PF2|?|OP|2? ___25________.

3．（05湖南）一张坐标纸对折一次后，点A(0,4)与点B(8,0)重叠，若点C(6,8)与点D(m,n) 重叠，则

m?n?_______________;

n?8n?81?(6?m)?6,??得m?7.6,n?7,2，所以m?n?14.8 2m?624．在正△?ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则以B、C为焦点且过点D、E的双曲线的离心率是

解：可解得对称轴方程为y?2x?6，由

3?1 ．

x2y2??1的两个焦点，P是椭圆上的一点，且|PF1|：|PF2|=2：1.则三角形PF1F2的面5．（03全国）设F1、F2是椭圆94积为 . （奥析264）

6．（04全国）给定两点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动. 当?MPN取最大时，点P的坐标为 . （奥

析265） 7．（03山东）设曲线2x?y?4x?6上与原点距离最大和最小的点分别为M、N，则|MN|= .（奥析266）

228．（04全国）已知M?{(x,y)|x?2y?3},N?{(x,y)|y?mx?b}.若对于所有的m?R，均有M?N??，则

22b的取值范围是 （奥析267）

9．（00全国）平面上的整点到直线25x－15y+12=0的距离中的最小值是

34. 8510．(99全国)满足不等式（|x|－1）2+(|y|－1)2 <2的整点的个数有 16 . 11．（00河北）在圆x2+y2－5x=0内，过点(,)有三条弦的长度成等比数列. 则其公比的取值范围为 [5322255,] . 5212．设P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆（x－5）2+y2=1上的点，则|PQ|的最小值为 2 .

三、解答题

1．已知抛物线y2=4ax（0

点M、N，设P为线段MN的中点.

（1）求|MF|+|NF的值.（2）是否存在这样的a 的值，使||MF|、|PF|、|NF|成等差数列？如存在，求出a的值；如不

存在，说明理由。 答案（1）8；（2）不存在。（利用定义法） 2．圆x2+y2=8，点A（2，0），动点M在圆上，0为原点，求?OMA的最大值。（方法大全1） 3．已知曲线M:x2?y2?m，x?0，m为正常数．直线l与曲线M的实轴不垂直，且依次交直线y?x、曲线M、

直线y??x于A、B、C、D4个点，O为坐标原点． （1）若|AB|?|BC|?|CD|，求证：?AOD的面积为定值； （2）若?BOC的面积等于?AOD面积的

求证：|AB|?|BC|?|CD|． 解：（1）设直线l：y?kx?b代入

1， 3A B P y B O x2?y2?m得：

(1?k2)x2?2bkx?b2?m?0，

??0得：b2?m(1?k2)?0，

C x D A Q C

?(b2?m)2bkbx?xx?C(x2,y2)，D(x,y)设B(x1,y1)，则有x1?x2?，，设，，易得：，A(x,y)3124433221?k1?k1?kx4??b11，由|AB|?|BC|?|CD|得|BC|?|AD|，故|x1?x2|?|x3?x4|，代入得1?k339bb2bk24(b2?m)12b22b?m(k?1)|OA|?2|||OD|?2||，，整理得：，又，()??||22281?k1?k31?k1?k1?kb29?AOD?90?，?S?AOD=?m为定值.

|1?k2|8 （2）设BC中点为P，AD中点为Q则xp?x3?x4x1?x2bkbk?x??，，所以xP?xQ，P、QQ22221?k1?k11，所以|BC|?|AD|，从33重合，从而|AP|?|DP|，从而|AB|?|CD|，又?BOC的面积等于?AOD面积的而|AB|?|BC|?|CD|.

4．已知点A

?x25,0和曲线?y2?12?x?25,y?0上的点P1、P2、…、Pn.若P1A、P2A、…、PnA成等差数

4???列且公差d >0,(1). 试将d表示为n的函数关系式.(2). 若d??,n可取的所有值,若不存在,说明理由.

解(1)∵d>0,故为递增数列∴P1A最小,PnA最大.

?11??,是否存在满足条件的n(n?N*).若存在,求出

?55?x24?y2?12?x?25,y?0知A(5,0)是它的右焦点,L: x?由方程是它的右准线, ∴P1A?5?2 45??PnA?3

于是3?(5?2)?(n?1)d ∴ d?5?5(n?1)…………………………-5分 n?1 （2）∵d?(,*1115?51) ∴? 设n?(55?4,26?55) ?555n?15又∵n?N ∴n取最大值14, n取最小值8.∴n可取8、9、10、11、12、、13、14这七个值.- - - - - - - - -- - - - -9分

5．（03山东）椭圆C：Ax2?By2?1与直线?：x+2y=7相交于P、Q两点，点R的坐标为（2，5）.若?PQR是等腰

三角形，?PRQ?90O，求A、B的值。（奥析265）

6．（04全国）在平面直角坐标系xoy中，给定三点A(0,),B(?1,0),C(1,0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，

AC距离的等比中项。（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L经过?ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰

好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。 解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为y?离依次为d1?24344(x?1),y??(x?1),y?0。点P(x,y) 到AB、AC、BC的距33112|4x?3y?4|,d2?|4x?3y?4|,d3?|y|。依设，d1d2?d3,得|16x2?(3y?4)2|?25y2， 5522222即16x?(3y?4)?25y?0,或16x?(3y?4)?25y?0， 化简得点P的轨迹方程为

圆S：2x?2y?3y?2?0与双曲线T:8x?17y?12y?8?0 （Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分 圆S：2x?2y?3y?2?0

22222222......5分

①

与双曲线T：8x?17y?12y?8?0 ②

因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T

的公共点只有B、C两点.

1?ABC的内心D也是适合题设条件的点，由d1?d2?d3，解得D(0,)，且知它在圆S上.直线L经过D，且与

21点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为y?kx? ③

21 （i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线y?平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的

2两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分

（ii）当k?0时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：

1，直线L的方程为x??(2y?1).代入方程②得y(3y?4)?0，254541解得E(,)或F(-,). 表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当k??33332情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率k??时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 ......15分 情况2：直线L不经过点B和C（即k??

1），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个2?8x2?17y2?12y?8?025?22(8?17k)x?5kx??0该公共点。即方程组?有且只有一组实数解，消去y并化简得14?y?kx??2方程有唯一实数解的充要条件是8?17k?0

2④