不等式的解法及二次函数二次不等式二次方程

不等式的解法及二次函数二次不等式二次方程

一．不等式的解 知识小结

1、 一元二次不等式：只含有一个未知数。并且未知数的最高次数是二次的不等式

叫一元二次不等式。 要求学生举5个例子。 2、 闭区间：集合{xa?x?b}叫做闭区间，记为[a,b]。注意：隐含条件a

3、 开区间：集合{xa?x?b}叫做开区间，记为（a,b）。注意：隐含条件a

4、 半开半闭区间：集合{xa?x?b}或{xa?x?b}叫做半开半闭区间，记为

[a,b]或（a,b）。注意：隐含条件a

5、 区间的端点：在上述所有区间中，a,b叫做端点。

6、 实数集R及x?a,x?a,x?b,x?b用区间表示： (??,??),[a,??),(a,??)，

(??,b],(??,b)，??读作正无穷大，??读作负无穷大。它们是一个理想的数，

不是一个具体的数，??比你想的大还要大，??比你想的小还要小。

7、ax?bx?c?0(a?0)、或ax?bx?c?0(a?0)的解法：

例1 例1（一元二次不等式与一元二次方程的关系）求不等式2x2-3x-2>0的解集。

解： 因为不等式2x2-3x-2>0相应的一元二次方程的根的判别式Δ>O，方程2x2-3x-2＝0的两个根是x1??221,x2?2 212所以不等式的解集为(??,?)?(2,??)。

小结：解不等式步骤：10检验二次项系数是否为正；20判断一元二次方程的判别式是

否>0,<0,=0；30解出一元二次方程的根；40写出一元二次不等式的解集（用集合或区间表示）。 8、ax?bx?c?0(a?0)、或ax?bx?c?0(a?0)的解法：

前面，我们只考虑一元二次不等式的二次项系数a>0的情况，当a0的解集． 解 将原不等式化为3x2-x-1<0， 因为方程3x2-x-1＝0的两根是x1?221?131?13,x2?, 66?1?131?13??所以原不等式的解集为??6,6?

??例3 写出一个一元二次不等式，使它的解集（-1，3）。

解：由不等式的解集为(一l，3)，可知x应满足条件：-1

0．00526x2+0.000078x>45．5的解即可．利用上面介绍的一元二次不等式的解法，可得不等式的解为x>93．00或工<一93．01．

根据题意，可推断这辆汽车在发生交通事故时的车速大于93千米／时．这条信息将成为车祸责任认定的重要依据。

９．当a?0时，不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0，也可以用二次函数图象来求解。

22

10．当a?0时，不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0，可以变为a?0的情况。

例4（用二次函数的图象来解）解下列不等式 （1） 9x2+6x+1>0; （2） 4x-x2<5;

22

（3） 2x2+x+1≤.0 （4） ?x?43x?12

解：略（４）：原不等式可以化为x?43x?12?0,令y?x?43x?12则次函数为抛物线，它的开口向上，???(?43)?4?12?0，?原不等式无解。

例5．当k为何值时，关于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4>0的解集为(一∞,+∞)? 解 函数y= x2+(k-1)x+4的图像是开口向上的抛物线．

因为不等式x2+(k-1)x+4>0的解集为(一∞,+∞)，所以整条抛物线在x轴上方，此时方程x2+(k-1)x+4=0的根的判别式Δ＝(k一1)2一16<0．

解得k∈(一3，5)．

所以，当一30的解集为(一∞,+∞)。

3．一元二次不等式组的解法

2??3x?7x?10?0???(1)例6.解不等式组?2。

??2x?5x?2?0????(2)2222解：由不等式（1）得??1,解集为[?1,)?(2,??10?1，不等式（2）得(??,)?(2,??)，可知原不等式组3?2?1210] 3

4．含参数的一元二次不等式

例7．解关于x的不等式3x?ax?a?0。 解：Δ=a2+12a=a(a+12).

2a?a2?12a（1） 当Δ>0时，即a<-12或a>0时，原不等式的解为x?或

6a?a2?12ax?。

6（2） 当Δ=0时，即a=-12或a=0.

当a=0时，原不等式的解为x∈(-∞,0)∪(0,+∞)。 当a=-12时，原不等式的解为x∈(-∞,-2)∪(2,+∞) （3）当Δ<0时，即-12

例8．解关于x的不等式mx?(m?2)x?2?0。

2

解：（1）当m=0时，原不等式的解为x∈(-∞,-1). (2) 当m≠0时，原不等式的解为(nx-2)(x+1)>0,m(x?当m<-2时，原不等式的解为x∈(?1,2

2)(x?1)?0. m2). m当m=0时，原不等式的解为(x+1)<0,无解。

2,?1)。 m2当m>0时，原不等式的解为x∈(??,?1)?(,??).

m当-2

cx2?bx?a?0的解集。

2解：不等式ax?bx?c?0的解集为{x??x??},???，∴a<0,并且?,?是方程

ax2?bx?c?0的两个正根。于是有?????又也

bc?0,????0，?b?0,c?0。 aa1??1?????b111a???0,????0， ??c????c所以

??21111,是方程cx2?bx?a?0的两个正根。并且0??。

??所以cx?bx?a?0的解集为{xx?1?或x?1?}.

（2）已知关于x的不等式ax?bx?c?0的解集为（1，2），解关于x的不等式

2cx2?bx?a?0。

1?1??1?2解：由ax?bx?c?0?a?b???c???0，令y?，则cx?bx?a?0的解

x?x??x?22集为(,1)。

练习：已知关于x的不等式的不等式

12kx?b，解关于x??0的解集为（-2，-1）∪（2，3）

x?ax?ckxbx?1??0。 ax?1cx?11b?kx?0，令y??1，则?2??1??1或2??1?3进而有解：?11xxxa?x?xx