2018届高考数学二轮 空间中的平行与垂直关系(1)专题卷(全国通用)

专题限时集训(九) 空间中的平行与垂

直关系

(对应学生用书第95页)

(限时：40分钟)

题型1 空间位置关系的判断与证明 1,3,6,7,8,9,10,12,14 题型2 平面图形的翻折问题 一、选择题 1．(2017·河北邢台二模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．给

出下列四个命题：

①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥n，m∥β，则n∥β； ③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，则α⊥β. 其中真命题的个数为( ) A．1 C．3

B．2 D．4

2,4,5,11,13 A [①是常用结论；②还有可能n?β；③还有可能α，β相交，此时m与它们的交线平行；④垂直于同一直线的两个平面平行．故选A.]

2．(2017·贵阳二模)如图9-6，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，

沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是( )

图9-6

A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的内心 C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心

A [由题意可知PA，PE，PF两两垂直，∴PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，

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而PO⊥平面AEF， 则PO⊥EF.

∵PO∩PA＝P，∴EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．故选A.]

3．(2016·长沙模拟)如图9-7，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，

2

E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝2，则下列结论中错误的是( )

图9-7

A．AC⊥BF

B．三棱锥A-BEF的体积为定值 C．EF∥平面ABCD

D．异面直线AE，BF所成的角为定值

D [对于选项A，连接BD(图略)，易知AC⊥平面BDD1B1.

∵BF?平面BDD1B1，∴AC⊥BF，故A正确；对于选项B，∵AC⊥平面BDD1B1，∴A到平面BEF的距离不变．

2

∵EF＝2，B到EF的距离为1，∴△BEF的面积不变，

∴三棱锥A-BEF的体积为定值，故B正确；对于选项C，∵EF∥BD，BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；对于选项D，异面直线AE，BF所成的角不为定值，当F与B1重合时，令上底面中心为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故D错误．]

4．(2017·广东惠州三调)如图9-8是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD

为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：

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图9-8

①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有( )

【导学号：07804069】

A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

B [将展开图还原为几何体(如图)，因为四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，则直线BE与CF共面，①错；因为AF?平面PAD，B?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，

所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B.]

5．(2017·江西景德镇二模)将图9-9(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的

中线折起得到空间四面体ABCD(如图9-9(2))，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )

图9-9(1) 图9-9(2)

A．相交且垂直 C．异面且垂直

B．相交但不垂直 D．异面但不垂直

C [在题图(1)中，AD⊥BC，故在题图(2)中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC?平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C.]

6．(2017·合肥二模)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与

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平面α平行的棱有( ) A．0条 C．2条

B．1条 D．0条或2条

C [因为平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形，所以该三棱锥中与平面α平行的棱有2条，故选C.]

7．(2017·河北唐山3月模拟)已知P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是AB，

PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝43，则异面直线PA与MN所成角的大小是( )

A．30° C．60°

B．45° D．90°

1

A [取AC的中点O，连接OM，ON(图略)，则ON∥AP，ON＝2AP，OM∥BC，1

OM＝2BC，所以异面直线PA与MN所成的角为∠ONM(或其补角)，在△ONM中，OM＝2，ON＝23，MN＝4，由勾股定理的逆定理得OM⊥ON，则∠ONM＝30°.故选A.]

8．(2016·福建漳州八校一模)下列命题中正确的个数是( )

①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行； ②直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b；

③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β. A．0 C．2

B．1 D．3

A [对于①，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面，故①错误；对于②，在如图1所示的三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，BA⊥BC，满足PA，PC在底面的射影相互垂直，但PA与PC不垂直，故②错误；对于③，在如图2所示的三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝AC＝PA＝2，PB＝PC＝3，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥P-ABC不是正三棱锥，故③错误；对于④，α，β也可以平行，故④错误．所以正确命题的个数为0.选A.

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