中考二次函数压轴题 - —解题通法研究 - 图文

2331求点P（-,-）到直线y=x-的距离3424⑩ 。 3112求点N（-,-）到直线y=-x+的距离232311 。 2311求点D（-,）到直线y=x-的距离542312 。 3231求点E（-,-）到直线y=-x的距离532413 。

在一个题中设计若干常见问题：

如图示，已知抛物线y?x2?2x?3 与y轴交于点B，与x 轴交

于C,D（C在D点的左侧），点A为顶点。

Y

Ｂ

Ａ C O D X y?x2?2x?3

① 判定三角形ABD的形状？并说明理由。

【通法：运用两点间的距离公式，求出该三角形各边的长】 ② 三角形ABD与三角形 BOD是否相似？说明理由。 【通法：用两点间的距离公式分别两个三角形的各边之长，再用相似的判定方法】 ③ 在x轴上是否存在点P，使PB+PA最短？若存在求出点P的坐标，并求出最小值。若不存在，请说明理由。

【通法：在两定点中任选一个点（为了简单起见，常常取轴上的点），求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与余下定点相连】

④ 在y轴上是否存在点P，使三角形PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标，并求出周长的最小值;若不存在，请说明理由。

【通法：注意到AD是定线段，其长度是个定值，因此只需ＰＡ＋ＰＤ最小】

【通法：对动点Ｐ的坐标一母示（１，ｔ）后，分三种情况，若Ｐ为顶点，则ＰＢ＝ＰＣ；若B为顶点，则BP=ＢＣ；若Ｃ为顶点，则ＣＰ＝ＣＢ。分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度】。

⑤ 若平行于ｘ轴的动直线ｌ与直线ＢＤ交于点Ｆ，与抛物线交于点P，若三角形ODF

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为等腰三角形，求出点P的坐标.

【通法：分类讨论，用两点间的距离公式】。

⑥

在直线BD下方的抛物线上是否存在点P，使sPBD的面积最大？若存在，求出点P

的坐标，若不存在，请说明理由。

【通法：SPBD1?(y上（动）-y下（动）)?（x右（定）-x左（定））】 2+SS四边形DOBP=S+S⑦ 在直线BD下方的抛物线上是否存在点P，使四边形DOBP的面积最大？若存在，求出点P的坐标，并求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由。

【通法：S四边形DOBP=SDOBDBP或

BOPDPO】

⑧ 在直线BD下方的抛物线上，是否存在点P，使四边形DCBP的面积最大？若存在，求出点P的坐标，并求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由.

在直线ＢＤ下方的抛物

线上，是否存在点Ｐ，使点Ｐ到直线BD的距离最大？若存在，求出点P的坐标，并求出最大距离；若不存在，请说明理由。 【通法：因为ＢＤ是定线段，点Ｐ到直线ＢＤ的距离最大，意味着三角形ＢＤＰ的面积最大】

⑨ 在抛物线上，是否存在点Ｐ，使点Ｐ到直线BD的距离等于2，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

【通法：在动点坐标一母示后，用点到直线的距离公式，列出方程，求解即可】。 ⑩

在抛物线上是否存在点P，使SPBC=2SABD，若存在，求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由。

【通法;在动点P的坐标一母示后，把到图形三角形ABD的面积算出，借助于动点坐标把动三角形PBC的面积表示出来，再代入已知中的面积等式】。

11 若点P在抛物线上，且?PDB=90，求点P的坐标。 【通法：利用KBD?KPB??1，及点B的坐标，求出直线PB的解析式，再把此解析式

与抛物线方程组成方程组，即可求出P点的坐标】。

12 若Q是线段CD上的一个动点（不与C,D重合），QEBD,交BC于点E，当三角形QBE的面积最大时，求动点Q的坐标。

【通法：三角形QBE是三边均动的动三角形，把该三角形分割成两个三角形基本模型的差，即SQBE?SQCB?SQCE，题中平行线的作用是有两个三角形相似，从而有对应边的比

等于对应高的比，最后该动三角形的面积方可表示为，以动点Q(t,0)的坐标有关的开口向】 下的二次函数。

13 若E为x轴上的一个动点，F为抛物线上的一个动点，使B,D,E,F构成平行四边形

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时，求出E点的坐标。

【通法：以其中一个已知点（如：点B）作为起点，列出所有对角线的情况（如：BD，BE，BF），分别设出两个动点（点E，点F），运用中点坐标公式，求出每一种情况下，两条对角线的中点坐标，注意到两个中点重合，其坐标对应相等，列出方程组，求解即可】。

二次函数常见题型及解题策略

1、两点间的距离公式：AB??yA?yB?2??xA?xB?2

?xA?xByA?yB，2?2?? ?2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：?3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：

① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围；

② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）

③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x的一元二次方程x2－2?m?1?x?m2＝0有两个整数根，m＜5且m为整数，求m的值。

4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）

例：若抛物线y?mx2??3m?1?x?3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x的方程mx?3(m?1)x?2m?3?0（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。

解：当m?0时，x?1；

当m?0时，???m?3??0，x?2233?m?1???，x1?2?、x2?1；

m2m综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：

已知抛物线y?x?mx?m?2（m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m的方程y?x?2?m?1?x?；

22? y?x2?2?0? y??1∴ ?，解得：?；

x?1 1?x?0??∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

（题目要求等价于：关于m的方程y?x?2?m?1?x?不论m为何值，方程恒成立）

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小结：关于x的方程ax?b有无数解??．．

? a?0

? b?07、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）

（1）如图，直线l1、点A在l2上，分别在l1、使得AM?MNl2，l2上确定两点M、N，之和最小。

（2）如图，直线l1、l2相交，两个固定点A、B，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得BM?MN?AN之和最小。

（3）如图，A、B是直线l同旁的两个定点，线段a，在直线l上确定两点E、F（E在F的左侧 ），使得四边形AEFB的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法

9、函数的交点问题：二次函数（y＝ax＋bx＋c）与一次函数（y＝kx＋h）

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? y＝ax2＋bx＋c （1）解方程组?可求出两个图象交点的坐标。

? y＝kx＋h? y＝ax2＋bx＋c （2）解方程组?，即ax2＋?b－k?x＋c－h＝0，通过?可判断两个图

? y＝kx＋h象的交点的个数

有两个交点 ? ?＞0 仅有一个交点 ? ??0 没有交点 ? ?＜0 10、方程法

（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度

（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 （3）列方程或关系式 11、几何分析法

特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。 几何要求 跟平行有关的图形 平移 勾股定理逆定理 利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等 利用几何中的全等、中垂线的性质等。 利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等 几何分析 涉及公式 应用图形 平行四边形 梯形 直角三角形 直角梯形 矩形 等腰三角形 全等 等腰梯形 y?y2 矩形 l1∥l2?k1＝k2、k?1x1?x2跟直角有关的图形 AB??yA?yB?2??xA?xB?2 ?yA?yB?2??xA?xB?2 跟线段有关的图形 跟角有关的图形 AB? 第 17 页 共 17 页