[创新方案]高考数学（理）一轮知能检测：第5章 第2节 等差数列及其前n项和

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第二节 等差数列及其前n项和

[全盘巩固]

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝15，S5＝55，则数列{an}的公差是( ) 1

A. B．4 C．－4 D．－3 4

解析：选B ∵{an}是等差数列， a4＝15，S5＝55，

∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，a3＝11，∴公差d＝a4－a3＝4.

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝( ) A．63 B．45 C．36 D．27

S＝3a1＋3d＝9，??3

解析：选B 设等差数列{an}的公差为d，依题意得?解得a16×5

??S6＝6a1＋2d＝36，＝1，d＝2，则a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝45.

3．(2013·辽宁高考)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；

?an?

p3：数列?n?是递增数列；

??

p4：数列{an＋3nd}是递增数列． 其中的真命题为( )

A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4

解析：选D ∵{an}是等差数列，∴设an＝a1＋(n－1)d.∵d>0，∴{an}是递增数列，故

a1－da1－d3

p1是真命题；nan＝dn2＋(a1－d)n的对称轴方程为n＝－.当－>时，由二次函数2d2d2

a1－dan?an?

的对称性知a1>2a2，{nan}不是递增数列，p2是假命题；＝d＋，当a1－d>0时，?n?是

nn??

递减数列，p3是假命题；an＋3nd＝4nd＋a1－d,4d>0，{an＋3nd}是递增数列，p4是真命题．故p1，p4是真命题．

4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是 ( )

A．21 B．20 C．19 D．18

解析：选B ∵a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，∴3a3＝105,3a4＝99， 即a3＝35，a4＝33.∴a1＝39，d＝－2，得an＝41－2n. 令an≥0且an＋1≤0，n∈N*，则有n＝20.

S4S6

5．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1，＝4，则的值为( )

S2S4

935

A. B. C. D．4 423

S4－S2S4

解析：选A 由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由＝4，得

S2S2

S69

＝3，则S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.

S44

S12S10

6．在等差数列{an}中，a1＝－2 012，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 012的值等

1210

于( )

A．－2 011 B．－2 012 C．－2 010 D．－2 013

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Sn

解析：选B ∵Sn＝An2＋Bn，知＝An＋B，

n

?Sn?S1

∴数列?n?是首项为＝－2 012的等差数列，

1??

S12S10?Sn?S2 012又－＝2，∴?n?的公差为1，∴＝－2 012＋(2 012－1)×1＝－1， 12102 012??故S2 012＝－2 012. 7．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝________.

7?7－1?d

解析：a1＋a2＋…＋a7＝7a1＋＝21d，

2

而ak＝a1＋(k－1)d＝(k－1)d，所以(k－1)d＝21d，d≠0，故k＝22. 答案：22

8．在等差数列{an}中，an>0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5·a6的最大值为________．

?a1＋a10?×10

解析：∵a1＋a2＋…＋a10＝30，即＝30，a1＋a10＝6，∴a5＋a6＝6，

2

a5＋a6?2

∴a5·a6≤??2?＝9. 答案：9 9．已知等差数列{an}中，an≠0，若n>1且an－1＋an＋1－a2S2n－1＝38，则n＝________. n＝0，解析：∵2an＝an－1＋an＋1，an－1＋an＋1－a2n＝0，

2＝0，即a(2－a)＝0.∵a≠0，∴a＝2.∴S∴2an－annnnn2n－1＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.

答案：10

1213

10．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an>0，且Sn＝an＋an－.

424

(1)证明：{an}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式．

113

解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝a2＋a－，

41214

解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．

112

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a2n＋2an－3)－(an－1＋2an－1－3)． 44

2－a2＋2a－2a∴4an＝ann－1nn－1.即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.

∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝2(n≥2)．

∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.

11．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求通项公式an； (2)求Sn的最小值；

Sn

(3)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.

n＋c

解：(1)∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a4＝a2＋a5＝22. 又a3·a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根， 又公差d＞0，∴a3＜a4，∴a3＝9，a4＝13， ???a1＋2d＝9，?a1＝1，?∴∴?∴通项公式an＝4n－3. ?a1＋3d＝13，?d＝4.??

n?n－1?11

n－?2－， (2)由(1)知a1＝1，d＝4，∴Sn＝na1＋×d＝2n2－n＝2??4?82

∴当n＝1时，Sn最小，最小值为S1＝a1＝1.

2n2－nSn

2(3)由(2)知Sn＝2n－n，∴bn＝＝，

n＋cn＋c

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1615

∴b1＝，b2＝，b3＝.

1＋c2＋c3＋c

∵数列{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，

6115即×2＝＋，∴2c2＋c＝0， 2＋c1＋c3＋c

11

∴c＝－或c＝0(舍去)，故c＝－. 22

2

12．已知数列{an}是等差数列，bn＝a2n－an＋1. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)若a1＋a3＋a5＋…＋a25＝130，a2＋a4＋a6＋…＋a26＝143－13k(k为常数)，求数列{bn}的通项公式；

(3)在(2)的条件下，若数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在实数k，使Sn当且仅当n＝12时取得最大值？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

2222

解：(1)证明：设{an}的公差为d，则bn＋1－bn＝(a2n＋1－an＋2)－(an－an＋1)＝2an＋1－(an＋1

－d)2－(an＋1＋d)2＝－2d2，

∴数列{bn}是以－2d2为公差的等差数列．

(2)∵a1＋a3＋a5＋…＋a25＝130，a2＋a4＋a6＋…＋a26＝143－13k，∴13d＝13－13k， ∴d＝1－k，

13?13－1?

又13a1＋×2d＝130，∴a1＝－2＋12k，

2

∴an＝a1＋(n－1)d＝(－2＋12k)＋(n－1)(1－k)＝(1－k)n＋13k－3，

222∴bn＝a2n－an＋1＝(an＋an＋1)(an－an＋1)＝－2(1－k)n＋25k－30k＋5.

(3)存在满足题意的实数k.

由题意可知，当且仅当n＝12时Sn最大，则b12>0，b13<0，

22??－24?1－k?＋25k－30k＋5>0，

即? ?－26?1－k?2＋25k2－30k＋5<0，?

2??k＋18k－19>0，∴?2解得k<－19或k>21. ?k－22k＋21>0，?

1．已知数阵?a21 a22 a23?中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成

???a31 a32 a33?

等差数列，若a22＝8，则这9个数的和为( )

A．16 B．32 C．36 D．72

解析：选D 依题意得a11＋a12＋a13＋a21＋a22＋a23＋a31＋a32＋a33＝3a12＋3a22＋3a32＝9a22＝72.

2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn

的最小值为________．

?10a1＋45d＝0，?n?n－1?

解析：由Sn＝na1＋d，得?

2?15a＋105d＝25，?1

故k的取值范围为(－∞，－19)∪(21，＋∞)．

[冲击名校]

?a11 a12 a13?

n?n－1?2122

解得a1＝－3，d＝，则Sn＝－3n＋·＝(n－10n)，

3233

201120

x－?， 所以nSn＝(n3－10n2)，令f(x)＝(x3－10x2)，则f′(x)＝x2－x＝x??3?333

2020

1，?时，f(x)单调递减；当x∈?，＋∞?时，f(x)单调递增， 当x∈?3???3?20

又6<<7，f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以nSn的最小值为－49.

3

答案：－49

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1．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋3n，若an＋1an＋2＝80，则n的值为( ) A．5 B．4 C．3 D．2

解析：选A 由Sn＝－n2＋3n，可得an＝4－2n，因此an＋1·an＋2＝[4－2(n＋1)][4－2(n＋2)]＝80，即n(n－1)＝20，解得n＝－4(舍去)或n＝5.

2．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10＝________.

＋

解析：∵an＋an＋1＝bn，an·an＋1＝2n，∴an＋1·an＋2＝2n1，∴an＋2＝2an.

－

又∵a1＝1，a1·a2＝2，∴a2＝2，∴a2n＝2n，a2n－1＝2n1(n∈N*)，∴b10＝a10＋a11＝64. 答案：64

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