(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习 变化率与导数、导数的计算练习(含解析)

1

由导数的几何意义可得f′(4)＝，

2因为Q(4，5)在曲线y＝f(x)上，故f(4)＝5. 14×－524×f′（4）－f（4）3

故g′(4)＝＝＝－. 22

44163

答案：－

16

11．已知函数f(x)＝x＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

1

(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

4解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． 因为f′(x)＝(x＋x－16)′＝3x＋1.

所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. 所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32.

1

(2)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，

4所以切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)，

则f′(x0)＝3x0＋1＝4，所以x0＝±1.

???x0＝1，?x0＝－1，所以?或?

?y0＝－14??y0＝－18，?

23

2

3

即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14.

12．已知函数f(x)＝ax＋(x≠0)在x＝2处的切线方程为3x－4y＋4＝0. (1)求a，b的值；

(2)求证：曲线上任一点P处的切线l与直线l1：y＝x，直线l2：x＝0围成的三角形的面积为定值．

解：(1)由f(x)＝ax＋，得f′(x)＝a－2(x≠0)．

bxbxbx 5

3??f′（2）＝，4由题意得?

??3×2－4f（2）＋4＝0.

??44

即?解得a＝1，b＝1.

b??5－2?2a＋?＝0.???2?

1

(2)证明：由(1)知f(x)＝x＋，

b3a－＝，x1?1?设曲线的切点为P?x0，x0＋?，f′(x0)＝1－2，

?x0?

x0

曲线在P处的切线方程为

y－?x0＋?＝?1－2?(x－x0)．

x0??x0??

2?1?2

即y＝?1－2?x＋.当x＝0时，y＝.

?

1??

1?

?x0?

x0x0

?2?即切线l与l2：x＝0的交点坐标为A?0，?.

x?

0

?

1?2??y＝?x＝2x0，x＋，??1－x2?0?x0得??由??

?y＝2x，0???y＝x，

即l与l1：y＝x的交点坐标为B(2x0，2x0)．

1?2?又l1与l2的交点为O(0，0)，则所求的三角形的面积为S＝·|2x0|·??＝2.

2?x0?即切线l与l1，l2围成的三角形的面积为定值．

[能力提升]

1．若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )

2

?1?A．?－，＋∞?

?2?

C．(0，＋∞)

2

1

B．[－，＋∞)

2D．[0，＋∞)

12ax＋1

解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所

xx12

以2ax＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－2(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为

x[0，＋∞)．故选D.

2．(2019·金华十校联考)已知函数y＝x的图象在点(x0，x0)处的切线为l，若l也与函数y＝ln x，x∈(0，1)的图象相切，则x0必满足( )

2

2

6

1

A．0＜x0＜ 2C．2

＜x0＜2 2

2

2

1

B．＜x0＜1 2D．2＜x0＜3

解析：选D.令f(x)＝x，f′(x)＝2x，f(x0)＝x0，所以直线l的方程为y＝2x0(x－x0)＋x0＝2x0x－x0，因为l也与函数y＝ln x(x∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x1，ln x1)，1??2x0＝，112x1y′＝，所以l的方程为y＝x＋ln x1－1，这样有?所以1＋ln(2x0)＝x0，

xx1

??1－ln x1＝x20，

2

2

x0∈(1，＋∞)，令g(x)＝x2－ln(2x)－1，x∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x0，又因

12x－1

为g′(x)＝2x－＝，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln 2＜0，g(2)

2

xx＝1－ln 22＜0，g(3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x0＜3，选D.

3．(2019·浙江省宁波四中高三月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″ (x)＝

?π?(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在?0，?2??

上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．

①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝ln x－2x； ③f(x)＝－x＋2x－1；④f(x)＝xe.

3

x?π?解析：①中，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＝－2sin?x＋?＜0

4??

11?π??π?在区间?0，?上恒成立；②中，f′(x)＝－2(x＞0)，f″(x)＝－2＜0在区间?0，?上

2?2?xx??

?π?2

恒成立；③中，f′(x)＝－3x＋2，f″(x)＝－6x在区间?0，?上恒小于0.④中，f′(x)

2??

π??0，＝e＋xe，f″(x)＝2e＋xe＝e(x＋2)＞0在区间??上恒成立，故④中函数不是凸函2??

xxxxx数．故①②③为凸函数．

答案：①②③

4．(2019·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f(x)＝ae＋x，g(x)＝cos πx＋bx，直线l与曲线y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲线y＝g(x)切于点(1，g(1))，则a＋b＝________，直线l的方程为________．

解析：f′(x)＝ae＋2x，g′(x)＝－πsin πx＋b，

xx2

f(0)＝a，g(1)＝cos π＋b＝b－1， f′(0)＝a，g′(1)＝b，

7

由题意可得f′(0)＝g′(1)，则a＝b， 又f′(0)＝b－1－a1－0

＝a，

即a＝b＝－1，则a＋b＝－2； 所以直线l的方程为x＋y＋1＝0. 答案：－2 x＋y＋1＝0

92

5．设有抛物线C：y＝－x＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．

2(1)求k的值；

(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

9

解：(1)由题意得，y′＝－2x＋.设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1， ①

2

y1＝－x21＋x1－4，

9

－2x1＋＝k，

2

1

联立①②③得，x1＝2，x2＝－2(舍去)．所以k＝. 2(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5. 132

将④代入抛物线方程得，x－x＋9＝0.

2设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9， 9

所以x2＝，y2＝－4.

2

92

② ③

④

?9?所以Q点的坐标为?，－4?. ?2?

6．(2019·绍兴一中月考)已知函数f(x)＝ax＋3x－6ax－11，g(x)＝3x＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.

(1)求a的值；

(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)由已知得f′(x)＝3ax＋6x－6a， 因为f′(－1)＝0，

所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.

(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x0＋6x0＋12)．

8

2

2

3

2

2