三年高考(2017-2019)文数真题分项版解析——专题13 不等式、推理与证明(解析版)

A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】D

?x?2y?5?0?【解析】画出约束条件?x?3?0表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线x?2y?0,可知

?y?2?当其经过直线x?2y?5?0与y?2的交点(?1,2)时,z?x?2y取得最大值，为zmax??1?2?2?3,故选D.

【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点，并代入不等式(组)．若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时,边界为实线；不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.

(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．

22219．【2017年高考山东卷文数】已知命题p：?x?R,x?x?1?0;命题q：若a?b,则a

真命题的是

A．p?q B．p??q C．?p?q D．?p??q 【答案】B

【解析】由x?0时x2?x?1?0成立知p是真命题,由1?(?2),1??2可知q是假命题,所以p??q是真命题,故选B.

【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．

22?2x?3y?6?0，?20．【2019年高考全国II卷文数】若变量x，y满足约束条件?x?y?3?0，则z=3x–y的最大值是

?y?2?0，?____________.

【答案】9

【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，

阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线3x?y?z?0中的z表示纵截距的相反数，当直线

z?3x?y过点C（3,0）时，z取最大值为9．

【名师点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．

21．【2019年高考全国II卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长

方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）

【答案】26，2?1 【解析】【答案】26，2?1

【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18?8?26个面．

如图，设该半正多面体的棱长为x，则AB?BE?x，延长CB与FE交于点G，延长BC交正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，△BGE为等腰直角三角形，

?BG?GE?CH?22x,?GH?2?x?x?(2?1)x?1， 22?x?1?2?1， 2?1即该半正多面体棱长为2?1．

【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．

?x?2,?22． 则y?x的最小值为__________，最大值为【2019年高考北京卷文数】若x，y满足?y??1,?4x?3y?1?0,?__________． 【答案】?3；1

【解析】根据题中所给约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.

设y?x?z，则y=x+z，求出满足在可行域范围内z的最大值、最小值即可，

即在可行域内，当直线y=x+z的纵截距最大时，z有最大值，当直线y=x+z的纵截距最小时，z有最小值.

由图可知，当直线y=x+z过点A时,z有最大值，

?x?2联立?，

4x?3y?1?0??x?2可得? ，即A(2,3)，

y?3?所以zmax?3?2?1；

当直线y=x+z过点B(2,?1)时，z有最小值， 所以zmin??1?2??3.

【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大，注重了基础知识、基本技能的考查.