第讲区间套定理

第28讲 上（下）确界与区间套定理

授课题目 上（下）确界与区间套定理 教学内容 1. 数集合的上（下）界，2. 数集合的上确界和下确界，3. 确界原理；4. 区间套定理及应用；． 教学目的和要求 教学重点及难点 教学方法及教材处理提示 通过本次课的教学，使一般的学生能够了解区间套定理，了解实数集合的有界性和确界概念；使对较好学生能够地掌握区间套定理及应用，理解实数集合的有界性和确界概念，会证明一些具体数集合的确界问题 教学重点：重点是区间套定理； 教学难点：确界概念和确界原理. (1)复习中学的有关实数的知识． (2)本讲的重点是区间套定理及其推论，明确区间套所确定的点?就是区间列?[an,bn]}端点所对应数列{an}和{bn}的极限. (3)应用区间套定理及其推论来证明数列收敛的柯西准则，讲清讲透，使较好的学生能掌握. (4)本讲的难点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对较好学生可只布置证明具体集合的确界的习题． 作业布置 作业内容：教材P9:2;4(3,4);5；7。 讲授内容

一、 有界集.确界原理

定义1 设S为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切x?S，都有x?M(x?L)，则称S为

有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)．

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集． 例1 证明数集N??{n|n为正整数}有下界而无上界． 定义2 设S是R中的一个数集．若数?满足： （i）对一切x?S，有x??，即?是S的上界；

（ii）对任何???存在xo?S，使得xo??即?又是S的最小上界 则称数?为数集S的上确界，记作??supS

定义3 设S是R中的一个数集．若数?满足： （i）对一切x?S，有x??，即?是S的下界

（ii）对任何???，存在xo?S，使得xo??,即?又是S的最大下界，则称数?为数集S的下确界，记作 ??infS

上确界与下确界统称为确界．

例1 设S?{x|x为区间(0,1)中的有理数}.试按上、下确界的定义验证： supS?1,infS?0. 解：先验证supS?1:

（i）对一切x?S，显然有x?1即1是S的上界．

(ii)对任何??1，若??0，则任取xo?S都有xo??；若??0，则由有理数集在实数集中的稠密

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性，在(?,1)中必有有理数xo即存在xo?S，使得xo??．

类似地可验证infS?0

注1 由上(下)确界的定义可见，若数集S存在上(下)确界，则一定是唯一的．又若数集S存在上、下确界，则有infS?supS．数集S的确界可能属于S，也可能不属于S．

定理1.1(确界原理) 设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界． 证明略

例2 设A,B为非空数集，满足：对一切x?A和y?B有x?y．证明：数集A有上确界，数集B下确界，且supA?infB.

证：由假设，数集B中任一数y都是数集A的上界，A中任一数x都是B的下界，故由确界原理推知数集A有上确界，数集B有下确界．

现证不等式，对任何y?B，y是数集A的一个上界，而由上确界的定义知，supA是数集A的最小上界，故有supA?y．而此式又表明数supA是数集B的一个下界，故由下确界定义证得supA?infB．

二、区间套定理与柯西收敛准则

定义1 设闭区间列??an,bn??具有如下性质： （?）

?an,bn???an?1,bn?1?， n?1,2,?；

n??（??） lim(bn?an)?0，

则称??an,bn??为闭区间套，或简称区间套。

这里性质（?）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式： a1?a2???an???bn???b2?b1. （1） 定理7.1（区间套定理） 若?则在实数系中存在唯一的一点?，使得???an,bn?，?an,bn??是一个区间套，

n?1,2,?，即an???bn， n?1,2,?. （2）

证：由（1）式，?an?为递增有界数列，依单调有界定理，?an?有极限?，且有

an??,n?1,2,?. （3） 同理，递减有界数列?bn?也有极限，并按区间套的条件（??）有

limbn?liman??， （4）

n??n??且 bn??,n?1,2,?. （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。

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最后证明满足（2）的?是唯一的。设数??也满足 an????bn,n?1,2,?, 则由（2）式有

?????bn?an,n?1,2,?. 由区间套的条件（??）得

?????lim(bn?an)?0，

n??故有????.

由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：

推论 若???an,bn?(n?1,2,?)是区间套?则对任给的?>0，存在N>0，使得当n>N?an,bn??所确定的点，时有

?an,bn??U??；??．

????1??n?? 注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开区间列，如??0,??，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且lim??0??0，但不存在属于所有开区间的公共点.

??1n??n?? 作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的“数列的柯西收敛准则”（定理2.10）. 定

理2.10数列?an?收敛的充要条件是:对任给的??0,存在N?0,使得对m,n?N有|am?an|??. 证：[必要性] 设liman?A.由数列极限定义,对任给的??0,存在N?0,当m,n?N时有

n?? am?A??2, an?A??2

因而 am?an?am?A?an?A??2??2??

[充分性] 按假设,对任给的??0,存在N?0,使得对一切n?N有an?aN??,即在区间

?aN??,aN???内含有?a?中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“?a?中几乎所有的

nn项”表示“?an?中除有限项外的所有项”). 据此,令??11?1?,则存在N1,在区间?aN1?,aN1??内含有?an?中几乎所有的项.记这个区间为

22?2???1,?1?.

再令??111??a?,a?N(?N)，则存在，在区间内含有?an?中几乎所有的项．记 NN21?22222?22?2?3 / 4

??2,?2????aN?2?122,aN2?1?????1,?1?， 22?它也含有?an?中几乎所有的项，且满足

??1,?1????2,?2?及?2??2?1

2继续依次令??的项．且满足

1其中每个区间都含有?an?中几乎所有，?，,?,照以上方法得一闭区间列???n,?n??，3n221??n,?n????n?1,?n?1?,n?1,2,?,

2即???n,?n??是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数????n,?n??n?1,2,?,?，

?n??n?1n?1?0(n??)

现在证明数?就是数列?an?的极限．事实上，由定理7.1的推论，对任给的??0，存在N?0，使得当n?N时有

??n,?n??U(?;?)

因此在U(?;?)内除有限外的所有项，这就证得liman??．

n??

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