高中数学：等差等比数列性质的比较与分析

等差数列与等比数列性质的比较

1、定义 等差数列性质 等比数列性质 an+1-an=d(n?1)；an-an-1=d(n?2) an+1a=q(n?1) ；n=q(n?2) anan-12、通项 公式 an?a1?(n?1)d ?an?am?(n?m)d(n,m?N) a?a?qa?a?qn1nmn?1n?m 3、前n项 和 sn?(a1?an)n2n(n?1)d2 q=1 , Sn=na1;a1(1-qn) q?1,Sn=1-qa-aq =1n1-qAba、A、b成等比数列?? aA2（不等价于A=ab，只能?）; an是其前k项an-k与后k项an+k的 等比中项，即：a2n=an-k?an+k 若m+n=p+q,则 psn?na1?a、A、b成等差数列?A=4、中项 a+b； 2an是其前k项an-k与后k项an+k的等差中a+a项，即：an=n-kn+k 25、下标和公式 a?a?a?a 特别地,若m+n=2p,则a?a?2a若m+n=p+q,则mnpqmna?a?a?a 特别地,若m+n=2p,则a?a?amnpq2pmn 6、首尾项性质 等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾两项的和, 即：等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积, 即：a1?an?a2?an?1???ak?an?(k?1) a?a?a?a1n2n?1???ak?an?(k?1)a }为等差数列,若m,n,p成等差数列, 则a,a,a成等差数列 {nmnp {an }为等比数列,若m,n,p成等差数列,则等比数列{a,a,amnp成等比数列 （两个等差数列的和仍是等差数列） （两个等比数列的积仍是等比数列） a},{b}的公差分别为d,e,则数列{a?b}仍为等差数列，公差为等差数列{nnnnd?e 列，公差为pq a},{b}的公比分别为p,q,则数列{a?b}仍为等比数nnnn取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为2d 7、结论 若am=n,an=m(m?n),则am?n?0 若Sm=n,Sn=m(m?n),则 取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等比数列，且公比为q2 无此性质； 无此性质； 无此性质； Sm?n??（m?n) 若s?s(m?n),则s?0 s,s?s,s?s,?成等差数列，mnm?mm2mm3m2m2s,sm2m?sm,s3m?s2m,?成等差公差为md 数列，公比为qm 等差数列与等比数列性质的比较

s?s?nd s?a sa当项数为奇数2n?1时，s?s?a当项数为偶数2n时，偶奇奇n偶n?1当项数为偶数2n时，s偶?qs 奇奇偶中 当项数为奇数2n?1时， s 2n?1?(2n?1)a中n n?1s 奇?a1?qs偶 ss奇偶?①定义法：①定义法：an?an?1?d?n?2? ②等差中项概念；2an?an?1?an?1?n?2? 8、等差(等比)数列的判断方法 ③函数法：an?pn?q(p,q为常数)关于n的一次函数?数列{an}是首项为p+q，公差为p??0?的等差数列； ④数列{an}的前n项和形如 an?q an?1②等差中项概念；anan?2?an?12(an?0) ③函数法：an?cqn(c，q均为不为0的常数，则数列?an?是等比数列． n?N?)，④数列{an}的前n项和形如 (a，b为常数)，那么数列{an}是等差数列， 数且q≠1)，则数列?an?是公比不为1的等比数列． 9、共性

Sn?an?bn2Sn?Aqn?A(A，q均为不等于0的常非零常数列既是等差数列又是等比数列 等差数列与等比数列性质的比较

等差练习

1、 已

知

{an}是等差数列，且

a1?a4?a8?a12?a15?2，求

a3?a13=_________________________。

2、 已知在等差数列{an}中，若a49?80，a59?100，求a79=______________________________ 3、 在等差数列{an}中，若a3?a4?a5?a6?a7?450，则a2?a8= 。 4、 若a，x，y，b，z成等差数列，试用a，b表示下列各项：x=_______，y=______，z=______. 5、 在等差数列{an}中，（1）若a7?m，a14?n，则a21=_________；

（2）若a1?a3?a5??1，则a1?a2???a5=________； （3）若a6?a3?a8，则S9=________；

（4）若a11?20，则S21=________； （5）若a4?a7?a10?a13?20，则S16?________。

6、 在等差数列{an}中，前n项和为Sn，若S3?1，a7?a8?a9?5，则S99=________。

7、 等差数列{an}前n项的和为Sn，且S3?3，S6?7，则S9的值是 。

8、 等差数列{an}前n项的和为Sn，且S7?8，S8?7，则S15的值是 。

9、 在等差数列{an}中，a1?0，Sn为前n项和，且S3?S16，则Sn取得最小值时n的值

为 。 10、

在等差数列{an}中，Sm?Sn?l(m?n)，则a1?am?n=

A．mnl B．(m?n)?l C．0 D．(m?n?1)?l 11、

（1）设等差数列共有10项，其中奇数项之和为12.5，偶数项之和为15，则其首项

a1=_______，公差d=________；

（2）在项数为2n?1(n?N?)的等差数列中，它的奇数项之和与偶数项之和的比

=_____________________。

12、

等差数列{an}的公差为1，a1?a2?a3???a99?102，试求a3?a6???a99的值。

等差数列与等比数列性质的比较

13、

已知{an}是等差数列，前m项和为Sm=30，前2m项和为S2m=100，求前3m项和S3m。

14、

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm?1，S3m?4，试求S6m的值。

15、

正数等比数列{an}中a6?4，则log2a1?log2a2????log2a11=__________________

16、

等差数列{an}中，

（1）ap?q，aq?p（p?q），那么ap?q?_______________________； （2）sm?sn(m?n)，那么sm?n?___________________。

?______________________

?_____________________

（3）sm?n,sn?m(m?n)，那么sm?n（4） Sm?p、Sn?q?m?n?，那么sm?n等比练习

1.等比数列

{an}2a?0,a,aa?a?axn199中，为方程?10x?16?0的两根，则205080的值为（ ）

2．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝ （ ）

A．8 B．－8 C．?8

3.等比数列

A.32 B.64 C.256 D.?64

?an?的各项均为正数，且a5a6?a4a7＝18，则log3a1?log3a2?log35

?log3a10＝( )

A．12 B．10 C．8 D．2＋5．等比数列

?an?的前n项和为Sn，S3?S6?2S9，则公比q=______________

an}的公比q?0, 已知a2=1，an?2?an?1?6an，则{an}的前4项和S4=

6．等比数列{

?an?的前n项和Sn=a?2n?a?2，则an=_______. ?a?S8.等比数列n的前n项和为n，若S4?2S2则公比为（ ）

7.等比数列

11?A.1 B.1或－1 C.2或2 D.2或－2

9.已知等比数列{an }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 A ．15 B．17 C．19 D ．21 10.设

{an}5是公比为正数的等比数列，若3，则数列n的前5项和为

A．15 B．31 C．32 D．41

a?4,a?16{a}11.已知

?an?是首项为1的等比数列，sn是?an?的前n项和，且9s3?s6，则数列?15313115或5 （B）或5 （C） （D） 816168?1??的前5项和为 a?n?（A）