(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习-4.5简单的三角恒等变换(第2课时)教案(含解析)

2?2?解析 f(x)＝3sinx－?1－cos x? 3?3?

?2π?＝2sin?x＋?－1，

6??3

π3ππ2π2π

又≤x≤，∴≤x＋≤， 2423632π

∴f(x)min＝2sin－1＝3－1.

3

15?π?β∈?0，π?，

11．(2018·邯郸模拟)已知tanα＝－，cosβ＝，α∈?，π?，??求tan(α2?35?2??＋β)的值，并求出α＋β的值． 解 由cosβ＝

5?π?，β∈?0，?，

2?5?

25

得sinβ＝，tanβ＝2.

5

1－＋23tanα＋tanβ∴tan(α＋β)＝＝＝1.

1－tanαtanβ2

1＋3∵α∈?

?π，π?，β∈?0，π?，

??2??2???

π3π5π

∴<α＋β<，∴α＋β＝. 224

4??312．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P?－，－?.

5??5(1)求sin(α＋π)的值；

5

(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．

134??3

解 (1)由角α的终边过点P?－，－?，

5??54

得sinα＝－.

5

4

所以sin(α＋π)＝－sinα＝.

54??3

(2)由角α的终边过点P?－，－?，

5??53

得cosα＝－.

5

13

512

由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.

1313由β＝(α＋β)－α，

得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα， 5616

所以cosβ＝－或cosβ＝. 6565

?π3π?β∈?0，π?，?π?3sin?5π＋β?＝－12，13．已知α∈?，?，且cos?－α?＝，则cos(α???4?4?4?13?4??4?5??

＋β)＝. 33答案 － 65

π?π3π??π?解析 ∵α∈?，?，∴－α∈?－，0?，

4?4?4?2?又cos?∵sin?

?π－α?＝3，∴sin?π－α?＝－4， ?5?4?5?4???

?5π＋β?＝－12，∴sin?π＋β?＝12， ??4?13

13?4???

?π?π?ππ?又∵β∈?0，?，＋β∈?，?， 4?4??42??π?5

∴cos?＋β?＝，

?4?13

∴cos(α＋β)＝cos??

??π＋β?－?π－α??

??4??

??4????

?π??π??π??π?＝cos?＋β?cos?－α?＋sin?＋β?sin?－α?

?4??4??4??4?

14

5312433＝×－×＝－. 13513565

14．在△ABC中，A，B，C是△ABC的内角，设函数f(A)＝2sinB＋Csin?π－?＋sin?π＋??

A?2

?

A?2?2??

－cos2

A2，则f(A)的最大值为．

答案

2

解析 f(A)＝2cosAsinA2

A2

A22＋sin2－cos2

＝sinA－cosA＝2sin??π?

A－4???，

因为0

4

.

所以当A－ππ4＝2，即A＝3π

4

时，f(A)有最大值2.

?π?317π2

15．已知cos?<α<7π?4＋α??＝5，12

4，则sin2α＋2sinα1－tanα的值为．

答案 －28

75

2

2

解析 sin2α＋2sinα2sinαcosα＋2sinα1－tanα＝

1－

sinαcosα＝2sinαcosα?cosα＋sinα?cosα－sinα ＝sin2α·1＋tanα1－tanα＝sin2α·tan??π?4＋α???

.

2?15

17π7π5ππ由<α<，得<α＋<2π， 12434又cos?

?π＋α?＝3，

?5

?4?

44?π??π?所以sin?＋α?＝－，tan?＋α?＝－.

53?4??4?cosα＝cos??

??π＋α?－π?＝－2，sinα＝－72， ?4?1010???4?

7

sin2α＝. 25

2

sin2α＋2sinα7?4?28所以＝×?－?＝－. 1－tanα25?3?75

16．已知函数f(x)＝23sinxcosx－2cosx＋1(x∈R)．

2

?2π?(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间?0，?上的最大值和最小值；

3??

6?π?(2)若f(x0)＝，x0∈?0，?，求cos2x0的值．

3?5?解 (1)由f(x)＝23sinxcosx－2cosx＋1， 得f(x)＝3(2sinxcosx)－(2cosx－1) π??＝3sin2x－cos2x＝2sin?2x－?，

6??所以函数f(x)的最小正周期为π.

π???π?易知f(x)＝2sin?2x－?在区间?0，?上为增函数，

6?3???在区间?

2

2

?π，2π?上为减函数， ?3??3

?π??2π??2π?又f(0)＝－1，f??＝2，f??＝－1，所以函数f(x)在?0，?上的最大值为2，最小值

3??3??3??

为－1.

π?6?(2)∵2sin?2x0－?＝，

6?5?π?3?∴sin?2x0－?＝. 6?5?

π?ππ??π?又x0∈?0，?，∴2x0－∈?－，?， 3?6?62??π?4?∴cos?2x0－?＝. 6?5?

16