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第2课时 简单的三角恒等变换

题型一 三角函数式的化简2

1．化简：sin2α－2cosαsin??π＝.

?α－4???答案 22cosα

2

解析 原式＝2sinαcosα－2cosα2

＝22cosα.

2?sinα－cosα?2cos4x－2cos2

x＋

12．化简：2

＝2tan??π?4－x???sin2??π?4＋x?.

??答案 1

2

cos2x

1?4cos4x－4cos2

x＋解析 原式＝2

1?sin??π－? 2×?4x??·cos2??π－?cos??π?4－x???4x?

??2

2

＝?2cosx－1?

4sin??π?4－x??π ?cos???4－x???2

2

＝cos2xcos2x12sin??π?2－2x?＝?2cos2x＝2cos2x.

?

1

sin?2α＋β?

3．化简：－2cos(α＋β)．

sinαsin?2α＋β?－2sinαcos?α＋β?

解 原式＝ sinαsin[α＋?α＋β?]－2sinαcos?α＋β?＝ sinαsinαcos?α＋β?＋cosαsin?α＋β?－2sinαcos?α＋β?＝ sinαcosαsin?α＋β?－sinαcos?α＋β?＝

sinαsin[?α＋β?－α]sinβ＝＝. sinαsinα思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角，二看名，三看式子结构与特征．

(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

题型二 三角函数的求值

命题点1 给角求值与给值求值

例1(1)(2018·太原质检)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin80°＝. 答案

6

2cos10°＋3sin10°??

解析 原式＝?2sin50°＋sin10°·?·

cos10°??13??cos10°＋sin10°??222sin80°＝

?2sin50°＋2sin10°·?·

cos10°??2cos10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×

3

＝6. 2

π?π?10??π??(2)(2018·聊城模拟)已知cos?θ＋?＝，θ∈?0，?，则sin?2θ－?＝. 4?102?3????答案

4－33

10

π??1＋cos?2θ＋?2?1π?π?4??2?解析 由题意可得cos?θ＋?＝＝，cos?2θ＋?＝－sin2θ＝－，

4?2?2105??

2

即sin2θ＝4

5

.

因为cos???θ＋π4??10?＝?π??10>0，θ∈?0，2??， 所以0<θ<π4，2θ∈???

0，π2???，

根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝3

5，

由两角差的正弦公式，可得

sin??π?2θ－3??ππ?＝sin2θcos3－cos2θsin3 ＝41334－5×2－5×2＝33

10. 命题点2 给值求角

例2(1)设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－310

10，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.

5π7π4或4

答案 C

解析 ∵α，β为钝角，sinα＝53105，cosβ＝－10， ∴cosα＝－255，sinβ＝10

10

，

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝2

2

>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈??3π?2，2π??

?

，

∴α＋β＝7π

4

. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－1

7，则2α－β的值为．

答案 －3π

4

解析 ∵tanα＝tan[(α－β)＋β]

3

11－27tan?α－β?＋tanβ1

＝＝＝>0， 1－tan?α－β?tanβ113

1＋×27π

∴0<α<. 2

12×32tanα3

又∵tan2α＝＝＝>0， 2

1－tanα?1?24

1－???3?π

∴0<2α<，

2

31＋47tan2α－tanβ∴tan(2α－β)＝＝＝1.

1＋tan2αtanβ31

1－×471π

∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，

723π

∴2α－β＝－.

4引申探究

本例(1)中，若α，β为锐角，sinα＝答案

π 4

5310，cosβ＝，则α＋β＝. 510

2510

解析 ∵α，β为锐角，∴cosα＝，sinβ＝，

510∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ 253105102

＝×－×＝.

5105102π又0<α＋β<π，∴α＋β＝. 4

思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．

(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．

?π?22

跟踪训练1 (1)已知α∈?0，?，且2sinα－sinα·cosα－3cosα＝0，则

2??

π??sin?α＋?4??

＝.

sin2α＋cos2α＋1

4