2011年春季学期《信息与计算科学专业》数值分析课程考试试卷（A卷）答案及评分标准

线 名姓 号 学封 级班 卷密试学大峡三

2011年春季学期

7. 将A???21??11?作Doolittle分解(即LU分解),

《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准

?注意：1、本试卷共3页；

2、考试时间:120 分钟； 则L???10??0.51?(2分),?U???21??00.5? (2分)

?3、姓名、学号必须写在指定地方；

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：

得分 ??x1?x2?4 ?x?1?2x2?7 得分 一、(16分)填空题

?x1?x2?2 1. 已知A??解：?（x,x2?e2?11??，则A12）?e21?e23 ?25?1 ?6 (1分)，A? ?7 . (1分)

?(x1?x2?4)2?(x1?2x2?7)2?(x21?x2?2)

2.迭代过程xn?1??(xn)(n?0,1,?)收敛的一个充分条件是迭代函数?(x)满足

???|??(x)|?1. (2分)

?2(3x1? 由 ????x2x2?13)?013. 设f(x)?3x2?5,x??? （8分）

k?kh,(k?0,1,2,?),则差商f[xn,xn?1,xn?2,xn?3]?0.

???x?2(2x1?6x2?16)?02（2分）

得法方程组 ?4. 设f(?3x1?2x2?13?2x ?x2311x)可微,求方程x?f(x)根的牛顿迭代格式是

1? ， x2?1?6x2?167723x?xx?f(xk)所以最小二乘解为： x1?k?1k?k,k?0,1,2?.(2分)

7 x112?7. （10分） 1?f?(xk)

5. 用二分法求方程f(x)?x3?x?1?0在区间[0,1]内的根，迭代进行二步后根所得分 10分）已知f(x)的函数值如下表

三、（在区间为[0.5,0.75].（2分）

x?1?0.500.516．为尽量避免有效数字的严重损失，当x??1时，应将表达式x?1?x改写为

f(x)?100.51.52

1 用复合梯形公式和复合Simpson公式求

(x)dx的近似值.

x?1?x以保证计算结果比较精确.（2分）

?1?1f解 用复合梯形公式，小区间数n?4，步长h?14?[1?(?1)]?0.5 T4?h2[f(?1)?2(f(?0.5)?f(0)?f(0.5))?f(1)]. **试卷第 1 页 共 3 页

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?0.52[?1?2(0?0.5?1.5)?2]?1.25 （5分）

用复合Simpson. 小区间数n?2,步长h?12?[1?(?1)]?1

得分

五、(10分) 取节点x0?0,x1?1,写出y(x)?e?x的一次插

Sh2?6[f(?1)?2?f(0)?4(f(?0.5)?f(0.5))?f(1)]

值多项式L1(x),并估计插值误差.

?186[?1?2?0.5?4(0?1.5)?2]?6?1.33 （10分）

解: 建立Lagrange公式为

得分 四、（12分）初值问题 ??y??ax?b,x?0Lx?x1xyx?x0x?1x?0?1(0)?0

1?x???0??xy1??1??e?1?x?e?1x.（8分）?y0?x1x100?11?0有精确解 y(x)?1ax2?R?y(x)?L(x)?y??(?)2bx， 1?x?12!(x?0)(x?1) (0???1)

试证明： 用Euler法以h为步长所得近似解yn的整体截断误差为

?12maxx?1(x?0)?x?1??18 （10分）0??n?y(xn)?y1n?2ahxn

证: Euler公式为：yn?yn?1?hf(xn?1,yn?1)

代入f(x,y)?ax?b得：yn?yn?1?h(axn?1?b) 由y(0)?y0?0得：

得分 六、(10分) 在区间[2,3]上利用压缩映像原理验证迭代格式

y1?y0?h(ax0?b)?bh; y2?y1?h(ax1?b)?2bh?ahx1 xk?1?ln4xk,k?0,1,?的敛散性.

y3?y2?h(ax2?b)?3bh?ah(x1?x2)……

解 : 在[2,3]上, 由迭代格式xk?1?ln4xk,k?0,1,?, 知?(x)?ln4x.

yn?yn?1?h(axn?1?b)?nbh?ah(x1?x2???xn?1) （10分）

因x?[2,3]时,?(x)?[?(2),?(3)]?[ln8,ln12]?[2,3] （5分）因x22(n?1)n又|??(x)|?|1n?nh,于是 yn?bxn?ah[1?2???(n?1)]?bxn?ah2

x|?1,故由压缩映像原理知对任意x0?[2,3]有收敛的迭代公式

=a2xnxn?1?bxn

xk?1?ln4xk,(k?0,1,?) （10分）∴?12an?y(xn)?yn?2axn?bxn?(2xnxn?1?bxn)

=a2(x?x=ann?1)xn2hxn =122anh (12分)

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??1f(x)dx??1p2002(x)dx?k??0Akf(xk)，

1得分 七、（10分）试构造方程组

其中: A1(x?x(x?)(x?3)1)(x?x2)10??024 ?(xdx?dx?2 0?x1)(x0?x2)?0?x1?2x2?3(11133x ?4?32)(4?4)1?2x2?4收敛的Jacobi迭代格式和Gauss?Seidel迭代格式，并说明其收敛的理由. (x?13解:将原方程组调整次序如下:

A(x?xx)(x?)0)(x?2)11??1044(xxdx?dx??1 1?x0)(x1?2)?0(1113?2?34)(2?4)?3x1?2x2?4?x1?2x 2?3调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J迭代格式和

A1(x?x(x?1)(x?1)0)(x?x1)12??0(xdx?42dx?2 2?x0)(x2?x1)?0GS迭代格式一定收敛.

(34?14)(3134?2)收敛的J迭代格式为:

?所求的插值型求积公式为：??10f(x)dx?13[2f(1134)?f(2)?2f(4)] (10分) x(k?1)?1(4?2(k)2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将

??1x2)?3 k?0,1,?. (5分)

?f(x)?x3,x4代入上述求积公式，有：

?x(k?1)?1(3?x(k)?221)131131333收敛的GS迭代格式为:

4??10xdx?3[2(4)?(2)?2(4)] ?1x(k?1)?1(4?(k)5??10x4dx?13[2(14)4?(12)4?2(344)] ??12x2)?3 k?0,1,?. （10分）

??x(k?1)?1(3?x(k?1)故上述求积公式具有3次代数精度. (12分) ?221)

得分 八、（12分）已知x0?1

4,x131?2,x2?4 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；

得分 九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插2)指明求积公式所具有的代数精度.

值、逼近、拟合”三者的区别和联系.

解：1）过这3个点的插值多项式

p(x?x1)(x?x2)(x?x0)(x?x2) 2(x)?(xf(x0)?)f(x1)

0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2 +

(x?x1)(x?x0) (xf(x2)

2?x1)(x2?x0)

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