离散型随机变量的研究

离散型随机变量的数字特征

个，但常用分布并不多，常用离散分布主要为二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布与负几何分布，其中二项分布，泊松分布以及超几何分布在现实生活中有比较广泛的应用,是当今国内外研究的主攻方向.另外多维随机变量也是当今研究的主要范畴.随机变量（random variable）表示随机现象（在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象）各种结果的变量（一切可能的样本点），例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等，都是随机变量的实例．

随着社会文明的发展，我国与其它国家的文化交流沟通很全面，离散随机变量的研究方向基本上也是一致的，主要研究离散随机变量的概率分布关系及其母函数的特征性质，离散随机变量的分布列以及数字特征，离散随机变量的均值与方差，离散随机变量的数学期望等等.

3 离散型随机变量的一些基本知识

3.1 随机变量与概率分布

定义 1 定义在样本空间Ω上的实值函数X?X?ω?称为随机变量，常用大写字母X,Y,Z等表示随机变量，其取值用x,y,z等表示.假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量.假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间（a,b）,则称其为连续随机变量，其中a可以是??,b可以是?.

概率分布是随机变量指X小于任何已知实数x的事件可以表示成的函数。用以表述随机变量取值的概率规律.描述不同类型的随机变量有不同的概率分布形式.是概率论的基本概念之一.

概率分布是概率论的一个概念,使用时可以有以下两种含义：

广义地，概率分布是指称随机变量的概率性质：当我们说概率空间 (Ω,F,P)中的两个随机变量X和Y具有同样的分布（或同分布）时，我们是无法用概率P来区别他们的.换言之：称X和Y为同分布的随机变量，当且仅当对任意事件Α?F，有

P?X?A??P?Y?A?成立.

但是，不能认为同分布的随机变量是相同的随机变量.事实上即使X与Y同分布，也可以没有任何点ω使得X(ω)=Y(ω).在这个意义下，可以把随机变量分类，每一类称作一个分布，其中的所有随机变量都同分布。用更简要的语言来说，同分布是一

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种等价关係，每一个等价类就是一个分布.需注意的是，通常谈到的二项分布，泊松分布，超几何分布，几何分布与负二项分布等，都是指各种类型的分布，而不能视作一个分布.

狭义地，它是指随机变量的概率分布函数.设X是样本空间(Ω,F)上的随机变量，P为概率测度，则称如下定义的函数是X的分布函数（distribution function），或称累积分布函数（cumulative distribution function，简称CDF）：Fx?a??P?X?a?，对任意实数a定义.

具有相同分布函数的随机变量一定是同分布的，因此可以用分布函数来描述一个分布，但更常用的描述手段是概率密度函数.

随机变量的概率分布列具有以下两点性质： (1)非负性 p?xi??0,i?1,2,(2) 正则性 ?p(xi)?1.

i?1.

?对于特定的随机变量X，其分布函数FX是单调不减及右连续，而且

Fx?????0,Fx????1.这些性质反过来也描述了所有可能成为分布函数的函数：

随机变量的分布

设P为概率测度,X为随机变量则函数

F?x??P?X?x??x?R?

称为X的概率分布函数.如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间(-∞,x]上的概率.

例如，设随机变量X为掷两次骰子所得的点数差，而整个样本空间由36个元素组成，

数量

6

( i , j )∈ S

( 1,1 )，( 2,2 )，( 3,3 ) ( 4,4 )，( 5,5 )，( 6,6 )

( 1,2 )，( 2,3 ) ( 3,4 )，( 4,5 )，( 5,6 )

xP(X = x)

F(x)

06/36 6/36 16/36

10 110/36

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( 2,1 )，( 3,2 )，( 4,3 ) ( 5,4 )，( 6,5 )

( 1,3 )，( 2,4 )，( 3,5 )

8 ( 4,6 )，( 3,1 )，( 4,2 )

( 5,3 )，( 6,4 ) 6

( 1,4 )，( 2,5 )，( 3,6 ) ( 4,1 )，( 5,2 )，( 6,3 )

( 1,5 )，( 2,6 ) ( 5,1 )，( 6,2 )

( 1,6 )，( 6,1 )

36/36 28/36

6

30/36

34/36

36/36

24/3

4 44/36

2 52/36

其分布函数是： ,x?0?0?6?36,0?x?1?16?,1?x?2?36?24F?x???,2?x?3 36??30,3?x?4?36?34?36,4?x?5?1,5?x?3.2 离散型随机变量函数的概率分布

设y=g(x)是定义在直线上的一个函数，X是一个随机变量，那么Y=g(X)作为X的函数，同样也是一个随机变量.在实际问题中，我们经常感兴趣的问题是：已知随机变量X的分布，如何求出另一个随机变量的Y=g(X)的分布. 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即

（PX?xk）?pk,k?1,2,

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设X为随机变量，x是任意实数，则函数

F(x)?P(X?x)

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数.

P(a?X?b)?F(b)?F(a)可以得到X落入区间(a,b]的概率.分布函数F(x)

（– ?，x]内的概率. 表示随机变量落入区间

分布函数具有如下性质：

1° 0?F(x)?1, ???x???；

2° F(x)是单调不减的函数，即x1?x2时，有 F(x1)?F(x2)； 3° F(??)?limF(x)?0， F(??)?limF(x)?1；

x???x???4° F(x?0)?F(x)，即F(x)是右连续的； 5° P(X?x)?F(x)?F(x?0). 对于离散型随机变量，F(x)?离散型随机变量的分布列为

?x1X~??p?x??1x2p?x2?ynp?xn?xnp?xn?????

????

xk?x?pk；

则其Y的分布列为

?y1Y~??p?x??1y2p?x2?当y的取值中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率相加即可.

3.3 离散型随机变量的母函数

母函数在研究离散型随机变量的某些问题中，具有非常重大的作用.现给出母函数的定义.

定义 2 设X是取非负整数值的随机变量，其分布律为pk?P?X?k?，对于

s?1，称G(s)??pksk?E(sX)为该分布的母函数．例如，若X~b(n,p)，则

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