2019年贵州省黔东南州凯里一中高考数学模拟试卷(理科)(三)(4月份)

解：设学生考试成绩为X，则P（80＜X＜100）=， ∴P（100＜X＜120）=P（80＜X＜100）=， 又P（X＞100）=，

∴P（X≥120）=P（X＞100）-P（100＜X＜120）=， ∴成绩不低于120分的学生约有900×=150人． 故答案为：150．

根据正态分布的对称性求出100到120分的概率，再计算成绩不低于120分的概率，从而得出人数．

本题考查了正态分布的特点，属于基础题． 16.【答案】

【解析】

解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系， 过B作BD⊥AC，交AC于点D， ∵直三棱柱 ABC-A1B1C1中，，AB=2，BC=CC1=1， ∠ABC=120°∴AC=BD=

，AD=∴A（0，0，0），B1（∴

=（

，

=

=

=，1），B（=（-，==，

，0），C1（0，，1），

，1），

，

，1），

设异面直线AB1与BC1所成角为θ， 则cosθ=

=

=

．

．

∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

第13页，共19页

故答案为：．

以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．

本题考查异面直线所成角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

17.【答案】解：（Ⅰ）由已知条件得f（x）=?=2sinxcosx+cos2x

=sin2x+

cos2x=2sin（2x+），

由2kπ-≤2x+≤2kπ+， 得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，

所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z； （Ⅱ）由f（）=2sin（A+）=2，即sin（A+）=1， ∵0＜A＜π，∴＜A+＜，可得A=，

由C=，知B=，因为△ABC外接圆的面积为4π， 所以△ABC外接圆的半径r=2，

由正弦定理知△ABC的周长为l=a+b+c=2rsinA+2rsinB+2rsinC =4（++）=4+2【解析】

．

（Ⅰ）由已知条件整理得f（x）=2sin（2x+），再利用三角函数的单调性求函数f（x）的单调递增区间即可；（Ⅱ）由题意可得sin（A+）=1，由A的范围可得A，B，再由正弦定理可得a，b，c，进而得到所求周长．

本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理解三角形，考查三角函数单调性的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．

第14页，共19页

18.【答案】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为

元件B为正品的概率约为

=0.75；

=0.8，

（Ⅱ）（ⅰ）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次；

∴随机变量X的所有取值为110，50，35，-25；

0.75=0.6，P（X=50）=（1-0.8）×0.75=0.15，P（X=35）=0.8×∵P（X=110）=0.8×（1-0.75）

=0.2，

P（X=-25）=（1-0.8）×（1-0.75）=0.05； ∴随机变量X的分布列为： X P 110 0.6 50 0.15 35 0.2 -25 0.05 0.6+50×0.15+35×0.2-25×0.05=78.25； 计算数学期望为EX=110×（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5-n件． 依题意得 60n-15（5-n）≥160，解得n≥3，

所以取n=4或n=5；

设“生产5件元件B所获得的利润不少于160元”为事件A， 则P（A）=【解析】

4

?0.75?0.25+

5

?0.75=0.638125≈0.64．

（Ⅰ）查出正品数，利用古典概型的概率公式计算即可；

（Ⅱ）（i）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次，

利用相互独立事件的概率公式及数学期望的定义计算即可；

（ii）先求出生产5件元件B所获得的利润不少于160元的正品数，再利用二项分布列公式计算即可．

本题考查了古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望的定义、二项分布列的计算公式问题，是中档题． 19.【答案】（I）证明：∵PA=AB=3，PB=3，∴PA⊥AB，

又PA⊥BC，AB∩BC=B，

∴PA⊥平面ABC，又BO?平面ABC， ∴PA⊥BO，

∵AB=BC，O是AC的中点， ∴BO⊥AC，又PA∩AC=A，

∴BO⊥平面PAC，又BO?平面BOD， ∴平面BOD⊥平面PAC．

（II）解：以O为原点，以OB，OC和平面ABC过点O的

第15页，共19页

垂线为坐标轴建立空间坐标系O-xyz， ∵AB=BC=PA=3，PB=3∴A（0，-∴=（设

，0），B（，

，∴OA=OB=OC=

，

，0），P（0，-，3），

，0，0），C（0，

，0），=（0，3，-3），=（0，0，3），

λ，-3λ），∴=

=（0，3

λ，3-3λ），

=λ（0≤λ＜1），则=λ=（0，3

设平面ABD的一个法向量为=（x，y，z），则，即，

令x=1可得=（1，-1，），

又平面ABC的一个法向量为=（0，0，1），

∴cos＜＞===，

∵二面角D-AB-C的平面角为60°， ∴∴

=

=，解得λ=．

或λ=

（舍），

【解析】

（I）证明OB⊥AC，OB⊥PA得出OB⊥平面PAC，故平面BOD⊥平面PAC； （II）设

=λ，建立空间坐标系，求出平面ABD和平面ABC的法向量，令法

向量的夹角的余弦值的绝对值等于计算λ的值．

本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题． 20.【答案】解：（Ⅰ）证明：直线AB必有斜率，设直线AB的方程为y=kx+b，并代入

2

抛物线得：x-4kx-4b=0，

2

∴△=16k+16b＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=4k，x1x2=-4b，

y1y2=×=

=b2，

以AB为直径的圆经过抛物线的顶点?x1x2+y1y2=0， -4b+b2=0，解得b=4或b=0（舍）

所以直线AB的方程为y=kx+4过定点（0，4）， （Ⅱ）由（Ⅰ）得直线AB的方程为kx-y+4=0， 设P（m，n），则切点弦AB的方程为：mx=4×

，即mx-2y-2n=0，即y=x-n，

第16页，共19页