(全国通用版)2020高考数学二轮复习 压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)理

经典

即当x＝－4时，y＝0.

∴直线A′B与x轴交于定点(－4,0)．

4．(2018·济南模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x＝2py(p>0)，斜率为k(k≠0)的直线l经过C的焦3→→

点，且与C交于A，B两点，满足OA·OB＝－.

4

2

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知线段AB的垂直平分线与抛物线C交于M，N两点，R为线段MN的中点，记点R到直线AB的距离为d，若|AB|＝

2

，求k的值． 2

d解 (1)由已知，得直线l的方程为y＝kx＋，

2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

px＝2py，??由?py＝kx＋，?2?

2

2

得x－2pkx－p＝0，(*)

2

x2x2p212

x1x2＝－p，y1y2＝·＝，

2p2p4

2

→

p3p→

OA·OB＝x1x2＋y1y2 ＝－p2＋＝－，

44

3p3

由已知得－＝－，即p＝1，

44∴抛物线C的方程为x＝2y.

12

(2)由(1)知，p＝1，C：x＝2y，l：y＝kx＋，

2方程(*)即：x－2kx－1＝0，

2

2

2

22

x1＋x2＝2k，x1x2＝－1.

设AB的中点为D(x0，y0)， 1

则x0＝(x1＋x2)＝k，

2

y0＝kx0＋＝k2＋，

∴AB的垂直平分线MN的方程为

1212

经典

y－?k＋?＝－(x－k)，

2?k?

132

即x＋y－k－＝0. k2

将直线MN的方程与C：x＝2y联立， 222

得x＋x－2k－3＝0，(**)

2

?

2

1?1

k设M(x3，y3)，N(x4，y4)， 则R?∴

?x3＋x4，y3＋y4?，

2??2?

2

1

＝－，

x3＋x4

ky3＋y4

2

1?x3＋x4?32

＝－ ?＋k＋ ?k?2?2

132

＝2＋k＋， k2

1

2

R点到直线AB：kx－y＋＝0的距离d＝

|AB|＝k＋1|x1－x2|

2

k2＋2＋2

kk2＋1

1

，

＝k＋12

2

(x1＋x2)2－4x1x2

2

2

＝k＋14k＋4＝2(1＋k)，

k2＋2＋2

kk2＋1dk2＋1

所以＝＝， 2

|AB|2(1＋k2)2kk2＋12由已知得＝，即得k＝±1. 22k2

把k＝±1代入验证知(*)与(**)式的判别式都大于零．

1

x2y26

5．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率

ab3

为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点． (1)求直线ON的斜率kON；

→→→

(2)求证：对于椭圆C上的任意一点M，都存在θ∈[0,2π)，使得OM＝cos θOA＋sin θOB成立． (1)解 设椭圆的焦距为2c， 因为＝

ca6， 3

a2－b22所以2＝，

a3

经典

故有a＝3b.

从而椭圆C的方程可化为x＋3y＝3b，① 右焦点F的坐标为(2b,0)，

据题意有AB所在的直线方程为y＝x－2b.② 由①②得，4x－62bx＋3b＝0，

2

22

2

2

22

Δ＝72b2－4×4×3b2＝24b2>0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

弦AB的中点为N(x0，y0)，由根与系数的关系得，

x1＋x232b2bx0＝＝，y0＝x0－2b＝－.

2

4

4

y01所以kON＝＝－. x03

→→

(2)证明 显然OA与OB可作为平面向量的一组基底， 由平面向量基本定理， →

对于这一平面内的向量OM， 有且只有一对实数λ，μ， →→→

使得等式OM＝λOA＋μOB成立． 设M(x，y)， 由(1)中各点的坐标有

(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)， 故x＝λx1＋μx2，y＝λy1＋μy2. 又因为点M在椭圆C上，

所以有(λx1＋μx2)＋3(λy1＋μy2)＝3b， 整理可得

22222

λ2(x21＋3y1)＋μ(x2＋3y2)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b.③

2

2

2

32b3b由(1)可知，x1＋x2＝，x1·x2＝，

24所以x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－2b)(x2－2b) ＝4x1x2－32b(x1＋x2)＋6b ＝3b－9b＋6b＝0.④ 又点A，B在椭圆C上，

故有(x1＋3y1)＝3b，(x2＋3y2)＝3b.⑤ 将④⑤代入③可得，λ＋μ＝1.

所以对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数， →→→22

使等式OM＝λOA＋μOB成立，且λ＋μ＝1.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

经典

所以存在θ∈[0,2π)，使得λ＝cos θ，μ＝sin θ. 即对于椭圆C上任意一点M，总存在θ∈[0,2π)， →→→

使得等式OM＝cos θOA＋sin θOB成立．