（全国通用版）2020高考数学二轮复习 压轴大题突破练（一）直线与圆锥曲线(1)理

经典

(一)直线与圆锥曲线(1)

1．(2018·唐山模拟)已知点A(－2,0)，点B(－1,0)，点C(1,0)，动圆O′与x轴相切于点A，过点B的直线l1与圆O′相切于点D，过点C的直线l2与圆O′相切于点E(D，E均不同于点A)，且l1与l2交于点P，设点P的轨迹为曲线Γ.

(1)证明：|PB|＋|PC|为定值，并求Γ的方程；

(2)设直线l1与Γ的另一个交点为Q，直线CD与Γ交于M，N两点，当O′，D，C三点共线时，求四边形MPNQ的面积．

解 (1)由已知可得|PD|＝|PE|， |BA|＝|BD|，|CE|＝|CA|， 所以|PB|＋|PC|＝|PD|＋|DB|＋|PC| ＝|PE|＋|PC|＋|AB| ＝|CE|＋|AB|

＝|AC|＋|AB|＝4>2＝|BC|，

所以点P的轨迹Γ是以B，C为焦点的椭圆(去掉与x轴的交点)， 可求得Γ的方程为＋＝1(y≠0)．

43

(2)由O′，D，C三点共线及圆的几何性质，可知PB⊥CD， 又由直线CE，CA为圆O′的切线， 可知|CE|＝|CA|，|O′A|＝|O′E|，

所以△O′AC≌△O′EC，进而有∠ACO′＝∠ECO′， 所以|PC|＝|BC|＝2，

又由椭圆的定义，|PB|＋|PC|＝4，得|PB|＝2，

所以△PBC为等边三角形，即点P在y轴上，点P的坐标为(0，±3)． (ⅰ)当点P的坐标为(0，3)时， ∠PBC＝60°，∠BCD＝30°， 此时直线l1的方程为y＝3(x＋1)， 直线CD的方程为y＝－3

(x－1)， 3

x2y2

xy??4＋3＝1，由???y＝3?x＋1?，

22

整理得5x＋8x＝0，

2

33??8

得Q?－，－?，

5??516

所以|PQ|＝，

5

经典

??4＋3＝1，由?

3

y＝－?x－1?，??3

x2y2

整理得13x－8x－32＝0，

2

832设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＋x2＝，x1x2＝－，

1313|MN|＝

148

1＋|x1－x2|＝， 313

1384

所以四边形MPNQ的面积S＝|PQ|·|MN|＝. 265(ⅱ)当点P的坐标为(0，－3)时，

384

由椭圆的对称性，得四边形MPNQ的面积为. 65384

综上，四边形MPNQ的面积为.

65

x2y21

2．(2018·合肥模拟)已知椭圆2＋2＝1(a>b>1)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，⊙F2：(xab2

－c)＋y＝1与该椭圆有且只有一个公共点． (1)求椭圆的标准方程；

(2)过点P(4c,0)的直线与⊙F2相切，且与椭圆相交于A，B两点，求证：F2A⊥F2B；

(3)过点P(4c,0)的直线l与⊙F1：(x＋1)＋y＝r(r>1)相切，且与椭圆相交于A，B两点，试探究kF2A，kF2B的数量关系．

(1)解 ∵⊙F2与椭圆有且只有一个公共点， ∴公共点为(a,0)或(－a,0)， 若公共点为(－a,0)，则a＋c＝1，

2

2

2

2

2

c1

又＝， a2

2

解得a＝<1，与a>1矛盾，故公共点为(a,0)．

3

c1

∴a－c＝1，又e＝＝，∴a＝2，c＝1.

a2

?x－1?＋y＝1，??22

反之，当c＝1时，联立?xy＋＝1，??43解得?

?x＝2，???y＝0，

2

2

满足条件．

∴椭圆的标准方程为＋＝1. 43

(2)证明 ∵P(4,0)，设过P(4,0)的直线l的方程为x＝my＋4，

x2y2

经典

x＝my＋4，??22

联立?xy＋＝1，??43

2

2

得(4＋3m)y＋24my＋36＝0，

由Δ＝576m－144(4＋3m)>0，得m>4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

24m36

则y1＋y2＝－2，y1y2＝2，

4＋3m4＋3m又F2(1,0)，

→→

∴F2A·F2B＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2) ＝(1＋m)y1y2＋3m(y1＋y2)＋9 36?1＋m?72m72－9m＝2－2＋9＝2.

4＋3m4＋3m4＋3m由l：x＝my＋4与⊙F2：

(x－1)＋y＝1相切得m＝8，满足m>4， →→

∴F2A·F2B＝0，即F2A⊥F2B. (3)解 猜想：kF2A＋kF2B＝0. 证明如下：

由(2)得kF2A＋kF2B＝＝

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

＋ x1－1x2－1

y1y2

2my1y2＋3?y1＋y2?

. my1y2＋3m?y1＋y2?＋9

3672m∵2my1y2＋3(y1＋y2)＝2m×2－2＝0，

4＋3m4＋3m∴kF2A＋kF2B＝0.

x2y2→→

3．(2018·成都模拟)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1的左、右焦点．若P是该椭圆上的一个动点，PF1·PF2的

4b最大值为1.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线x＝ky－1与椭圆E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′(A′与B不重合)，则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由． 解 (1)由题意得a＝2，c＝4－b，b<4， ∴F1(－4－b，0)，F2(4－b，0)． 设P(x，y)，

→→

则PF1＝(－4－b－x，－y)，PF2＝(4－b－x，－y)， →→22

即PF1·PF2＝x＋y－(4－b)

经典

＝x＋b－

2

bx4

2

2

－4＋b

＝?1－?x＋2b－4， ?4?∵x∈[－2,2]，

∴当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，

?

b?PF1·PF2有最大值1，

即1＝?1－?×4＋2b－4，解得b＝1，

?4?故所求的椭圆E的方程为＋y＝1.

4

→→

?

b?x2

2

x＝ky－1，??2

(2)由?x2

＋y＝1??4

2

2

2

消去x，

整理得(k＋4)y－2ky－3＝0， 显然Δ＝4k＋12(k＋4)＝16k＋48>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)， 故y1＋y2＝2k－3

，y1·y2＝2. k＋4k＋4

22

2

∴经过点A′(x1，－y1)，B(x2，y2)的直线方程为

y＋y1x－x1

＝， y2＋y1x2－x1

令y＝0， 则x＝

x2－x1

y1＋x1 y1＋y2

?x2－x1?y1＋?y1＋y2?x1＝ y1＋y2＝

x2y1＋x1y2

，

y1＋y2

又x1＝ky1－1，x2＝ky2－1， ∴x＝

x2y1＋x1y2

y1＋y2

?ky2－1?y1＋?ky1－1?y2＝

y1＋y22ky1y2－?y1＋y2?＝

2kk2＋46k2k－2－2

k＋4k＋4＝＝－4，

2kk2＋4