2016 - 2017学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算第2课时复数的乘方与除法学案

第2课时 复数的乘方与除法

1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.(重点)

2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.(重点、难点) 3.了解i幂的周期性.(易错点)

[基础·初探]

教材整理 复数的乘方与除法

阅读教材P71～P73“练习”以上部分，完成下列问题. 1.复数的乘方与i(n∈N)的周期性 (1)复数范围内正整数指数幂的运算性质 设对任何z∈C及m，n∈N，则zz＝z(2)虚数单位i(n∈N)的周期性 i＝1，i

4n4n＋1

*

n*

mnm＋n，(z)＝z，(z1z2)＝z1z2.

mnnmnnnn*

＝i，i

4n＋2

＝-1，i

4n＋3

＝-i.

2.复数的除法

把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi除以复数c＋di的商，且x＋yi＝

a＋biac＋bdbc-ad＝＋i(c＋di≠0). c＋dic2＋d2c2＋d2

1.判断正误：

(1)两复数的商一定是虚数.( ) (2)i

2 005

＝i.( )

(3)复数的加、减、乘、除混合运算法则是先乘除、后加减.( ) (4)若z∈C，则z＝z.( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)× 1＋i3

2.复数＋i＝________.

1-i

1＋i?1＋i?2i32

【解析】 ＝＝＝i，i＝i·i＝-i.

1-i?1-i??1＋i?2

2

2

2

1

∴原式＝i-i＝0. 【答案】 0

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型]

i的运算特征 计算下列各式的值. (1)1＋i＋i＋?＋i

2

2 014

＋i

2 015

；

?1?2 0142 014

(2)?1-?＋(1-i)； ?i?

(3)i

2 006

2?508?＋(2＋2i)-??. ?1-i?

2

2 014

【自主解答】 (1)1＋i＋i＋?＋i

2

＋i

2 015

＝1＋i＋i＋i＝0.

23

1i2

(2)∵1-＝1＋＝1＋i，且(1±i)＝±2i.

ii

?1?2 0142 014

∴?1-?＋(1-i) ?i?

＝(1＋i)＝(2i)(3)i＝i

2 014

＋[(1-i)]

1 007

21 007

1 007

＋(-2i)＝0.

2 006

2?508?＋(2＋2i)-?? ?1-i?＋[2(1＋i)]-?

4

25

24

4×501＋2

?22?25

?

??1-i??

＝i＋(4i)-i ＝-1＋256-i＝255-i.

2

2

1.虚数单位i的性质： (1)i＝1，i(2)i＋i

4n4n＋1

4n4n＋1

＝i，i

4n＋2

4n＋2

＝-1，i

4n＋3

＝-i(n∈N).

*

＋i＋i

4n＋3

＝0(n∈N).

*

122

2.复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)＝2i，(1-i)＝-2i，＝-i及乘方运算律简化

i运算.

[再练一题]

i＋i＋i＋?＋i

1.(1)已知复数z＝

1＋i

2

3

2 014

，则复数z在复平面内对应的点为________.

【导学号：97220030】

i＋i＋i＋?＋i

【解析】 ∵i＋i＋i＋i＝0，∴z＝

1＋i

2

3

4

232 014

i＋i＝＝i，对应的点为i＋1

2

(0,1).

【答案】 (0,1)

(2)(2016·东北三省三校二模)i为虚数单位，复数z＝i位于第________象限.

【解析】 i

2 012

2 012

＋i

2 015

在复平面内对应的点

＝i

503×4

＝1，i

2 015

＝i

503×4＋3

＝-i，∴复数z＝1-i在复平面上对应点为(1，

-1)，位于第四象限.

【答案】 四

复数的除法 1＋3i (1)＝________.

1-i

(2)已知复数z满足(3-4i)z＝25，则z＝________. (3)i为虚数单位，?

?1-i?2＝________.

??1＋i?

【精彩点拨】 (1)直接利用除法法则计算；(2)转化为复数的除法计算；(3)先计算括号内的，再乘方运算.

1＋3i?1＋3i??1＋i?-2＋4i

【自主解答】 (1)＝＝＝-1＋2i；

1-i?1-i??1＋i?2

2525?3＋4i?25?3＋4i?

(2)由(3-4i)z＝25，得z＝＝＝＝3＋4i；

3-4i?3-4i??3＋4i?251-i?1-i?-2i

(3)∵＝＝＝-i，

1＋i?1＋i??1-i?2∴?

2

?1-i?2＝(-i)2＝-1.

??1＋i?

3

【答案】(1)-1＋2i (2)3＋4i (3)-1

1.两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)把除式写为分式.

(2)分子、分母同时乘以分母的共轭复数. (3)对分子、分母分别进行乘法运算. (4)把运算结果化为复数的代数形式. 2.解题时注意以下常用结论

1＋i1-i2(1)＝i，＝-i，(1±i)＝±2i.

1-i1＋i(2)i，(-i)的值是以4为周期的一列值. (3)

nna＋bi?a＋bi?i?a＋bi?i

＝＝＝i. b-ai?b-ai?ia＋bi

[再练一题]

2

2.(1)i为虚数单位，复数＝________.

1-i

【导学号：97220031】

22

(2)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z＝________.

z22×?1＋i?

【解析】 (1)＝＝1＋i；

1-i?1-i??1＋i?222?1-i?22(2)＋z＝＋(1＋i)＝＋2i＝1＋i. z1＋i2【答案】 (1)1＋i (2)1＋i

[探究共研型]

复数四则运算的综合应用 探究1 复数的四则运算顺序与实数的四则运算顺序相同吗？顺序是什么？ 【提示】 相同，先乘除、后加减. 探究2 如何理解复数的除法运算法则？

【提示】 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).

1＋i?2i-232? 计算：(1)＋(5＋i)-??；

?2?1＋23i

4