2014届高考数学一轮复习 11.1 抽样方法与总体分布的估计考点及自测 理 新人教A版

第1讲 抽样方法与总体分布的估计

【2014年高考会这样考】 1．考查三种抽样方法及其应用．

2．考查频率分布直方图中的相关计算(求解频率、频数等)．

3．考查用样本估计总体中的样本数据的数字特征(平均数、方差、标准差等)．

对应学生

162

考点梳理

1． 三种抽样方法的比较

类别 简单随 机抽样 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 总体中的个体数较少 从总体中逐个抽取 系统 抽样 将总体均分成几部抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，均属于不放回抽样 分，按事先确定的规则在各部分中抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 各层抽样总体中的个体数较多 分层 抽样 将总体分成几层，分层进行抽样 时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 2.频率分布直方图与茎叶图

(1)当总体很大或不便获得时，可以用样本的频率分布去估计总体的频率分布，我们把反映样本频率分布的表格称为频率分布表．绘制频率分布表的步骤为：①求极差；②决定组距和组数；③将数据分组；④列频率分布表．

(2)利用直方图反映样本的频率分布，这样的直方图称为频率分布直方图．画频率分布直方图的一般步骤是：①绘制频率分布表；②作直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距；③在上面标出的各点中，分别以相邻两点为端点的线段为底作矩形，它

- 1 -

的高等于该组的之和为1.

频率

.此时，每个矩形的面积恰好就是该组的频率，显然所有矩形的面积组距

3．样本的数字特征 (1)众数

在样本数据中，出现次数最多的那个数据． (2)中位数

样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数． (3)平均数

1

样本数据的算术平均数，即x＝(x1＋x2＋?＋xn)．

n(4)方差与标准差

12222

方差：s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋?＋(xn－x)]．

n标准差：s＝

【助学·微博】 一条规律

1[nx1－x2

＋x2－x2

＋?＋xn－x2

].

三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是. 两个特性

(1)在频率分布表中，频数的和等于样本容量，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量，各小组频率的和等于1；

(2)在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，每个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形的面积之和为1.

考点自测

1．(2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，?，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )． A．7 B．9 C．10 D．15

nN - 2 -

解析 从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为an＝9＋30(n－1)＝30n－21，由236257

451≤30n－21≤750，得≤n≤，所以n＝16,17，?，25，共有25－16＋1＝10人，

1510选C. 答案 C

2．(2013·临沂模拟)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是( )． A．30,30,30 B．30,45,15 C．20,30,10 D．30,50,10

9011

解析 抽取比例是＝，故三校分别抽取的学生人数为3 600×3 600＋5 400＋1 80012012011

＝30,5 400×＝45,1 800×＝15.

120120答案 B

3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，则这一天10名工人生产的零件的中位数是( )． A．14 B．16 C．15 D．17

解析 将这组数据从小到大排列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位数为＝15. 答案 C

4．(2013·西北工大附中测试)如图是容量为150的样本的频率分布直方图，则样本数据落在[6,10)内的频数为( )．

15＋15

2

A．12 B．48 C．60 D．80

解析 落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，故频数为0.32×150＝48. 答案 B

5．(2013·长沙模拟)

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如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．

12222

(注：方差s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋?＋(xn－x)]，其中x为x1，x2，?，xn的平

n均数)

112

解析 x＝(8＋9＋10＋13＋15)＝11，s＝×(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.

55答案 6.8

考向一 抽样方法

【例1】?从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．

[审题视点] 因为802不能整除80，为了保证“等距”分段，应先剔除2个个体． 解 由于总体及样本中的个体数较多，且无明显差异，因此采用系统抽样的方法，步骤如下：

第一步：先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法)；

800

第二步：将余下的800辆轿车编号为1,2，?，800，并均匀分成80段，每段含k＝＝8010个个体；

第三步：从第1段即1,2，?，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个编号(如5)作为起始编号；

第四步：从5开始，再将编号为15,25，?，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．

解决系统抽样问题的两个关键步骤为：

(1)分段的方法应依据抽取的样本容量而定，即根据定义每段抽取一个样本．

(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．

【训练1】 (2012·天津)某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．

150解析 根据分层抽样的特点求解．从小学中抽取30×＝18所学校；从中学中

150＋75＋2575

抽取30×＝9所学校．

150＋75＋25

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