2012届二轮复习专题1--分段函数

二轮复习专题1—分段函数专题

吴宝树 20120308

知识点梳理

一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。 二、注意：

1、分段函数是一个函数，而不是几个函数； 2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集； 3、分段函数的值域是各段函数值的并集。 4、解决分段函数的方法：先分后合

三、涉及的内容及相应的常用方法：

1、求解析式： 利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系，已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；

2、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。不能确定时常需要分情况讨论； 3、单调性： 各段单调（如递增）+连接处不等关系。

?①f1?x?在(??,a)上?????f1?x?,x?(??,a]（如f?x???在R上是增函数，则?②f2?x?在[a,??)上?）；

???f2?x?,x?[a,??)??③f1?a??f2?a?4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式，才有奇偶性，否则为非奇非偶函数；

5、图像性质或变换等： 作图、赋值等，注意变量的范围限制； 6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较；

7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图；

例题讲解：

题型一、分段函数的图像。 1.作出函数y?x?x?1?的图象

2. 函数y?e y 1

0

lnx?|x?1|的图象大致是 （ ）

y 1 y 1 0 B x 0 C 1 x 1

y 1 0 D 1 x 1 x -1 A

题型二、分段函数的奇偶性 1、判断函数f(x)??

2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x?0时,f(x)?

题型三、分段函数的最值

1、(2005上海高考题)对定义域分别是

?x(1?x)(x?0),的奇偶性

(x?0).?x(1?x)x2?2x?3.求f(x)的解析式。

D,Dfg的函数y?f(x),y?g(x).规定：

?f(x)g(x),当x?D且x?D,fg??当x?Df且x?Dg 函数h(x)??f(x),?当x?Dg且x?Df??g(x),（I）若函数f(x)?1,g(x)?x2，写出函数h(x)的解析式； x?1（II）求问题（I）中函数h(x)的值域；

题型四、与分段函数有关的不等式与方程

(x?0)?1　　1、已知f(x)??，则不等式x?(x?2)f(x?2)?5的解集是________

?1　　(x?0)??2x?2?,2、(2011年高考北京卷理科13)已知函数f(x)??x若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则

?(x?1)3,x?2?数k的取值范围是_______

3、(2011年高考陕西卷理科11)设f(x)??

2

?lgx,x?0，若f(f(1))?1，则a? a2?x??03tdt,x?0题型五、分段函数创新题 1、定义运算x?y??A.m??x?y(x?y)，若m?1?m?m?1,则m的取值范围是（ ）

(x?y)11 B. m?1 C. m? D. m?0 22,?b?1,?aa2、(2011年高考天津卷理科8)对实数a与b，定义新运算“?”：a?b?? 设函数

b,a?b?1.?f(x)??x2?2???x?x2?,x?R.若函数y?f(x)?c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是

（ ）

3??1??3?3?1??1?????1,??,?????A．???,?2????1,? B．???,?2????1,?? C．???,???,??? D. ?44????4?2?4??4????总结：

1、分段函数是高考的一个热点，它可以考查函数的很多重要知识，如求值、作图、解方程、

求解析式、求周期和最值、函数的定义域、单调性、奇偶性等。

2、解分段函数的问题时，关键的是根据自变量的分段情况选择相应解析式。

3、解不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式（组）求解，然后取这些不等式（组）解集的并集。

4、研究分段函数的最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。

课后作业：

x?1??2e,x?2,1、设f(x)= ? 则不等式f(x)>2的解集为 2??log3(x?1),x?2,(A)（1，2）?（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）? （10 ，+∞）(D)（1，2）

1，?(3?a)x?4a,x＜2、已知f(x)??是（-?，+?）上的增函数，那么a的取值范围是（ ）

logx,x?1?a（A）(1，+?) （B）(-?,3) (C)[3、

4、设定义为R的函数f(x)??3，3) 5 (D)(1,3)

??lgx?1,x?1,??0,x?1.则关于x的方程f(x)?bf(x)?c?0

2有7个不同的实数解的充要条件是 （ ）

A. b?0且c?0 B. b?0且c?0 C. b?0且c?0 D. b?0且c?0

?log2(1?x),x?0,)的值为（ ） 5、定义在R上的函数f(x)满足f(x)??则f(2009?f(x?1)?f(x?2),x?0,A.-1 B.0 C.1 D.2

3

6、

?4x?3(x?0)?7、求函数f(x)??x?3(0?x?1)的最大值

??x?5(x?1)?8、(2011年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当20?x?200时，车流速度v是车流密度x的一次函数. (Ⅰ)当0?x?200时，求函数v(x)的表达式；

(Ⅱ)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x)?xv(x)可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）

参考答案：

题型一、分段函数的图像。 1.作出函数y?x?x?1?的图象 2. 函数 y 1

y?elnx?|x?1|的图象大致是 （ ）

y 1 y 1 4 y 1 1 C x 0 D 1 x 0 A

1 x -1 0 B x 0