2020年河南省中考数学压轴题专题20几何与代数综合性及易错问题

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专题20 几何与代数综合性及易错问题

题型一：几何与代数综合性问题

尺规作图、利用代数方法解决图形存在性（最值、性质）问题等 题型二：易错题型 基于分类讨论的题型.

4【例1】(2019·洛阳二模)如图，直线y??x?4与 x轴、y轴的交点为A，B．按以下步骤作图：

3①以点 A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 AB，x 轴于点 C，D；

1②分别以点 C，D 为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠OAB内交于点M；③作射线AM，交 y 轴

2于点E．则点 E 的坐标为

3【答案】（0，）.

2【解析】解：过点E作EF⊥AB于F，如图所示，

4在y??x?4中，当x=0时，y=4；当y=0时，x=3，

3即A(3,0)，B（0,4），

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=5，

由题意的尺规作图方法可知，AM为∠BOA的平分线，

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∴EO=EF， ∴△OAE≌△FAE， ∴OA=AF=3， ∴BF=AB－AF=2，

设OE=x，则EF=x，BE=4－x， 在Rt△BEF中，由勾股定理得： （4－x）=x+2，

2

2

2

33解得：x=，即OE=，

223∴答案为：（0，）.

2【变式1-1】(2019·偃师一模)如图，点A(0，2)，在 x 轴上取一点 B，连接 AB，以 A 为圆心，任

1意长为半径画弧，分别交OA，AB 于点 M，N，再以 M，N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点

2D，连接 AD 并延长交 x 轴于点 P．若△OPA 与△OAB 相似，则点 P 的坐标为

【答案】（23，0）. 3【解析】解：由题意知，AP为∠OAB的平分线， ∴∠OAP=∠BAP， ∵△OPA与△OAB相似， ∴∠OPA=∠OAB=2∠OAP， ∴∠OAP=30°， ∵OA=2，

23， 323即P点坐标为（，0）.

3∴OP=OA·tan30°=【变式1-2】（2018·河南第一次大联考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx（k>0）分

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别交反比例函数y?

191和y?在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y?的图象xxx于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是__________．

【答案】

3715或. 75【解析】解：联立y=kx，y?1，得： x11，y=k，即A(,k)， kk3同理，得点B的坐标为(,3k)，

kx=∵BD⊥x轴， ∴C点坐标为（3k，），

3k∴BC=3k－3kkk，BC的中点的纵坐标为－≠k， 362∴A不在BC的垂直平分线上，即AB≠AC， （1）当AB=BC时， 即AB=BC，

2

2

1??3????3k?kk??k2??2?k???3k????， 3??2解得：k=3737或k=?（舍）； 77（2）当AC=BC时， 即AC=BC,

2

2

??1??kk??3???k?3k?， ???????3???3kk??????解得：k=2221515或k=?（舍）；

55中考

故答案为：3715或. 752

2

【例2】（2019·偃师一模）当-2≤x≤1时，二次函数 y=-(x-m)+m+1有最大值4，则实数m的值为

【答案】－3或2.

【解析】解：①当-2≤m≤1时，x=m时，y=4，即m+1=4， 解得：m= 3（舍）或m=－3， ②当m<－2时，

2

x=－2时，y=4，即-(-2-m)2+m2+1=4，

解得：m=?7（舍）； 4③当m>1时，

x=1时，y=4，

即-(1-m)+m+1=4， 解得：m=2，

综上所述，m的值为－3或2.

【变式2-1】 (2019·洛阳二模)四张背面相同的扑克牌，分别为红桃 1，2，3，4，背面朝上，先从中抽取一张把抽到的点数记为 a，再在剩余的扑克中抽取一张点数记为 b，则点(a，b)在直线 y=x+1 上方的概率是

2

2

1【答案】.

4【解析】解：抽到的点数有序数对为：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），共12中可能，

只有（1,2），（2,3），（3,4）三个点在直线y=x+1上，即点(a，b)在直线 y=x+1 上方的概率是

31=， 1241故答案为：.

4【变式2-2】（2018·信阳一模）如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面自由滚动，设小球在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率为P1，在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为P2，则（ ）