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专题二 弹簧问题

1．如图所示，劲度系数k = 800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为 m =12kg的物体A、B，竖立静止在水平地面上．现要加一竖直向上的力F 在物体A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s，B刚要离开地面，设 整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取10m/s2 ）．求： （1）此过程所加外力F的最大值和最小值． （2）此过程中力F所做的功．

【解】（1）整个过程弹簧由压缩状态变为伸长状态．

当弹簧被压缩时，对A，由牛顿定律得：F?kx?mg?ma，即：F?ma?mg?kx． 初始弹簧压缩量最大，x取最大值x1， F 有最小值F1，满足：kx1?mg．

当弹簧被伸长时，对A，由牛顿定律得：F?kx?mg?ma，即：F?ma?mg?kx． 当B恰好离开地面时，弹簧的伸长量最大，满足： kx2?mg．x 取最大值x2，F有最大值F2， 对A，由匀加速运动得：x1?x2?

12at． 2 联立以上各式解得：x1?x2?0.15m，a?3.75ms2，F1?45N， F2?285N．

（2）由于初末状态x1?x2，弹性势能相等，由功能关系得

2．如图，在倾角为?的光滑物块P的斜面上有两个用轻弹簧相连接的物体A和B；C为一垂直固定在斜面上的挡板，P、C的总质量为M，A、B质量均为m，弹簧的劲度系数为k，系统静止于光滑水平面上．现用一水平力F从零开始增大作用于P上，（此过程中A始终没有离开斜面）． （1）则在物体B刚要离开C时,弹簧处于什么状态，并给出证明过程．

（2）求此时F的大小．

（3）从开始到此时物块A相对斜面的位移d． 【解】（1）弹簧处于原长，略．

（2）F?(M?2m)gtan?．

(3)d=

A C B P F WF?mg(x1?x2)?1m(at)2?49.5J． 2mgsin?． k3、如图所示，A、B两物体与一轻质弹簧相连，静止在地面上，有一小物体C从距A物体ｈ高度处由静止释放，当下落至与A相碰后立即粘在一起向下运动，以后不再分开，当A与C运动到

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最高点时，物体B对地面刚好无压力、设A、B、C三物体的质量均为ｍ，弹簧的劲度ｋ，不计空气阻力且弹簧始终处于弹性限度内。若弹簧的弹性势能由弹簧劲度系数和

h 形变量决定，求C物体下落时的高度ｈ．

【解】开始时A处于平衡状态，有k?x?mg （2分） 当C下落ｈ高度时速度为v，则有：mgh?/C A 12mv （2分） 2B C与A碰撞粘在一起时速度为v，由动量守恒有：mv?(m?m)v/ （2分） 当A与C运动到最高时，B对地面无压力，即：k?x/?mg （2分）

可得：?x??x （2分）

所以最高时弹性势能与初始位置弹性势能相等．（2分） 由机械能守恒有： 解得：h?

/1(m?m)v/2?2mg(?x??x/) （2分） 28mg （2分） k4．用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以v=6m/s的速度在光滑的水平地面上运动，

弹簧处于原长，质量4kg的物块C静止在前方，如下图所示．B与C碰撞后二者粘在一起运动．求：在以后的运动中：

（1）当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度多大？ （2）弹性势能的最大值是多大？

（3）A的速度有可能向左吗？为什么？

【解】 （1）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大

由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，(mA?mB)v?(mA?mB?mC)v?A

解得v?A?(2?2)?6?3m/s

2?2?42?6?2m/s 2?4（2）B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v′， 则mBv?(mB?mC)v? v??设物A速度为v?A时弹簧的弹性势能最大为Ep，根据能量守恒1112Ep?(mB?mC)v?2?mAv2?(mA?mB?mC)v?A222 111??(2?4)?22??2?62??(2?2?4)?3?12J222（3）A不可能向左运动 系统动量守恒，mAv?mBv?mAvA?(mB?mC)vB 设A向左，vA<0，则vB>4m/s 则作用后A、B、C动能之和 E??112m)AvA?(mB?mC22- 2 -

21vB?(2mB?m)C2v?4 8JB

12实际上系统的机械能E?Ep?(mA?mB?mC)v?A?12?36?48J

2根据能量守恒定律，E′>E是不可能的．

5.如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上有质量均为m的A、B、C三个相同物块，其中A 和B用劲度系数为k的轻弹簧相连，静止在斜面上．在斜面的底端有一个固定挡板．现在将 C从斜面上某点由静止释放，B和C碰撞时间极短，B和C碰撞后粘连一起不再分开，以后 的运动过程中A恰好不离开挡板．整个过程中，弹簧处在弹性限度以内。求： (1)物块B上升的最高点与最初位置之间的距离； (2)物块C释放时离B物块的距离d．

【解】?设B、C碰撞前弹簧的压缩量为x1,则由B平衡得kx1?mgsin30? （3分）

设A对挡板恰好无压力时弹簧伸长量为x2,由A受力平衡得kx2?mgsin30? （3分）

mg （2分） k12?设B、C碰撞之前瞬间C的速度为υ,由动能定理得mgdsin30??m? （2分）

2B、C碰撞动量守恒,设碰撞后共同速度为υ1,则m??2m?1 （2分）

物体B上升至最高点与开始平衡位置之间的距离为L=x1+x2=碰撞后整个系统机械能守恒,从碰撞结束到B至最高点

1Ep1?2m?12?Ep2?2mg(x1?x2)sin30? （3分）

2由于x1=x2,故 Ep1?Ep2 （3分）

由以上各式解得 d?4mg （2分） k

6、如图所示，光滑水平面上有一小车B，右端固定一个砂箱，砂箱左侧连着一水平轻弹簧， 小车和砂箱的总质量为M，车上放有一物块A，质量也是M，物块A随小车以速度v0

向右匀速运动．物块A与左侧的车面的动摩擦因数为?，与右侧车面摩擦不计．车匀速

运动时，距砂面H高处有一质量为m的泥球自由下落，恰好落在砂箱中，求： （1）小车在前进中，弹簧弹性势能的最大值．

（2）为使物体A不从小车上滑下，车面粗糙部分应多长？

m 【解】在m下落在砂箱砂里的过程中，由于车与小泥球m在水平方向不受任何外力作用，

A

H

v0

故

车及砂、泥球整个系统的水平方向动量守恒，则有：

B

Mv0?(M?m)v1 ①

、 此时物块A由于不受外力作用，继续向右做匀速直线运动再与轻弹簧相碰，以物块A弹簧、车系统为研究对象，水平方向仍未受任何外力作用，系统动量守恒，当弹簧被压 缩到最短，达最大弹性势能Ep时，整个系统的速度为v2，则由动量守恒和机械能守恒 有：

Mv0?(M?m)v1?(2M?m)v2 ②

- 3 -

111222 ③ Mv0?(M?m)v1?Ep?(2M?m)v1222Mm22v0由①②③式联立解得：EP? ④

2(M?m)(2M?m)之后物块A相对地面仍向右做变减速运动，而相对车则向车的左面运动，直到脱离弹簧， 获得对车向左的动能，设刚滑至车尾，则相对车静止，由能量守恒，弹性势能转化为系 统克服摩擦力做功转化的内能有：?MgL?Ep ⑤

2m2v0由④⑤两式得：L?

2?g(M?m)(2M?m)

7、在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度?0射向B球，如图所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为m，

（1）球弹簧长度刚被锁定后A球的速度。 （2）球在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

【解】（1）设C球与B球粘结成D时，D的速度为?1，由动量守恒，有

1 mv0?(m?m)?1 ○

当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为?2，由动量守恒，有

2m?1?3m?2 ○2

由○1、○2两式得A的速度

?2??0 ○3

（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为Ep，由能量守恒，有

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