人教版数学必修一笔记

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http://pan.http://www.china-audit.com//share/link?shareid=124037&uk=3204528639 所以1.7＞0.9

-0.3-0.1

⑶0.8与4.9

由指数函数的性质得：

-0.3

0.8＞1

-0.1

4.9＜1

-0.3-0.1

故0.8＞4.9

x

8、求证：指数函数y=a，当a＞1时是增函数。 证明：

证法1 对任意的x1，x2∈R，且x1＜x2 则f（x1）-f（x2）=ax10.83.1 -a=ax2x2-x1x（）11-a

因为a＞0，且x2-x1＞0 由已知a故1-ax2-x1＞1

x2-x1＜0

又因为a1＞0 所以f（x1）-f（x2）=ax1x-ax2＜0

即f（x1）＜f（x2）

x

所以y=a在R上是增函数。

证法2 任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1-x2＜0 因为a1＞0，axx2＞0

f（x1）ax1xx所以=x=a1-a2＜1

f（x2）a2所以f（x1）＜f（x2）

x

即y=a在R上是增函数。 9、讨论函数f（x）=a解：在f（x）=a2

-x2?3x?2的增减性（其中0＜a≠1）

-x2?3x?2中

另u=-x+3x+2=-（x-u

3217）+ 24当a＞1时，y=a是增函数

2

故f（x）的增减性与函数u（x）=-x+3x+2的增减性相同，即： 当x＜

33-x2?3x?2-x2?3x?2时，f（x）=a是增函数；当x≥时，f（x）=a是减函数 22u

当0＜a＜1时，y=a是减函数

2

故f（x）的增减性与函数u（x）=-x+3x+2的增减性相反，即：

33-x2?3x?2-x2?3x?2当x＜时，f（x）=a是减函数；当x≥时，f（x）=a是增函数

2217

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http://pan.http://www.china-audit.com//share/link?shareid=124037&uk=3204528639 10、解下列不等式： ⑴a⑵a2x2-7x?3＞1（a＞1） ＞ax2?2x-52x2-3x?1（0＜a＜1）

2x2-7x?3解：⑴原不等式可化为ax

＞a（a＞1）

2

0

由于a＞0时，y=a为增函数，所以2x-7x+3＞0 解得x＜

1或x＞3 21）∪（3，+∞） 22

2

所以不等式⑴的解集为（-∞，

x

⑵当0＜a＜1时，y=a为减函数，故由⑵有2x-3x+1＜x+2x-5

2

整理得x-5x+6＜0，2＜x＜3 所以不等式⑵的解集为（2，3）

2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算

一、对数的概念

定义：课本P62

根据对数的定义，可以得到指数与对数间的关系：

x

当a＞0且a≠1时，a=N ?x=㏒aN 由指数与对数的这个关系可以得到关于对数的如下性质： ①负数和零没有对数； ②㏒a1=0，㏒aa=1

显然a＞0且a≠1，a

㏒aN=N

二、对数的运算

1.运算法则

由指数的运算法则我们可以得到对数的运算法则，如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0那么： ⑴㏒a（M·N）=㏒aM+㏒aN

⑵㏒a

M=㏒aM-㏒aN NN

⑶㏒aM=n㏒aM（n∈R）

从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数，都可以作为对数的底。数学史上，人们 经过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。但是对于其它不等于1的正数为底 的对数怎样计算呢？我们可以利用对数定义得出下列对数换底公式： 2.对数换底公式 ㏒ab=

㏒cb（a＞0 a≠1，c＞0 c≠1且b＞0） ㏒cax

事实上：设㏒ab=x，由对数定义可知a=b 两边取以c为底的对数有x㏒ca=㏒cb

18

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㏒cb㏒b，即㏒ab=c ㏒ca㏒ca有了对数换底公式：我们就可以解决利用已知对数求其它数为底的对数计算问题，因而

彻底解决了对数的计算问题。另外我们利用对数换底公式还可以得出下列推论： ①㏒ab=

1（0＜a≠1且0＜b≠1） ㏒baanbn②㏒ab=㏒（0＜a≠1且0＜b≠1 n∈R）

=

更一般地有：㏒anbnn㏒ab（0＜a≠1且0＜b≠1） m3.常用对数

对于常用对数，它除了具有上述运算性质外，还有以下运算性质：

n

①lg10=n，其中n∈R； ②lg2+lg5=1；

③若x＞y＞0，则lgx＞lgy，并且反之亦然。

2.2.2 对数函数及其性质

一、定义

课本P70

y

因为y=㏒ax?x=a，利用函数和反函数的关系，我们可以看到：对数函数y=㏒ax与

x

指数函数y=a互为反函数。即它们具有定义域值域互换，对应法则互逆的特点。并且它 们的图像关于直线y=x是对称的。

故我们可以利用指数函数的图像得到对数函数的图像：

由对数函数的图像我们可以得到它有以下性质： ⑴负数和零没有对数； ⑵过定点（1，0），即x=1时，y=0；

⑶当a＞1时在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时在（0，+∞）上是减函数。

例题分析

1、求下列各式的值。 ①㏒181 ②㏒9

31 ③㏒100.001 27 ⑥（

㏒152④㏒17 ⑤2

71㏒25） 419

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http://pan.http://www.china-audit.com//share/link?shareid=124037&uk=3204528639 解：①设㏒181=x，则3=81=3，所以x=-4

3-x

4

②设㏒9

113x2x-3

=x，则9=，即3=3，所以x=- 27272x

-3

③设㏒100.001=x，则10=10，所以x=-3 ④因为7=（

1-1

），故㏒17=-1 77㏒152㏒152⑤2

1-1

=[（）]

2㏒152 ⑥（

1㏒25） 4-2

1 =[（）

2 =

] =（2）

-1

㏒25

㏒511-2

=（22）= 525

2、求下列各式中的x的值。 ⑴㏒

x=-322

⑵㏒x（2-1）=-1 ⑶（㏒2x）25 3-233解：⑴x=（3）

=

9 3⑵x=

12-1=2+1

⑶由已知有㏒2x=±5，故x=32或x=3、不查表计算

132

23lg3?lg9?lg27-lg3255⑴ ⑵lg5+lg50lg2

lg81-lg273322

⑶lg5+lg2+3lg5lg2 ⑷lg5-lg2-2lg2-lg4?1?㏒22（2-1）2?1

49111lg3?lg3?lg3-lg3lg31151025解：⑴解法1 原式===

4lg3-3lg35lg3lg3?lg3?lg3-lg3lg3=

81lg3lg2720

45910124911???5102解法2 原式==

11 5⑵原式=lg5+lg（25×2）lg2

2