2013年高考新课标卷数学（理）试卷及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试( 新课标Ⅱ)

数学(理科) 第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知集合M?x|(x?1)2?4,x?R,N???1,0,1,2,3?，则M?N?

（A）?0,1,2? （B）??1,0,1,2? （C）??1,0,2,3? （D）?0,1,2,3?

??2．设复数z满足(1?i)z?2i，则z?

（A）-1+i

（B）-1-i

（C）1+i （D）1-i

3．等比数列?an?的前n项和为Sn，已知S3?a2?10a1，a5?9，则a1? （A）

1 3 （B）?11 （C） 39 （D）?1 94．已知m,n为异面直线，m?平面?，n?平面?。直线l满足l?m,l?n,l??,l??，则

（A）?//?，且l//?

（B）???，且l??

开始输入N（C）?与?相交，且交线垂直于l （D）?与?相交，且交线平行于l 5．已知(1?ax)(1?x)5的展开式中x的系数为5，则a? （A）?4 （B）?3 （C）?2 （D）?1 6．执行右面的程序框图，如果输入的N?10，那么输出的S?

2k?1,S?0,T?1T?TkS?S?Tk?k?1k?N?111111??……+ （B）1???……+ 2310 2！3！10！111111 （C）1???……+（D）1???……+

2311 2！3！11！ （A）1?7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O?xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)， 画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为

否是输出S结束

(A) (B) (C) 8．设a?log36,b?log510,c?log714，则

（A）c?b?a （B）b?c?a （C）a?c?b （D）a?b?c

(D)

?x?1?9．已知a?0，x,y满足约束条件?x?y?3，若z?2x?y的最小值为1，则a?

?y?a(x?3)? （A）

1 4 （B）

1 2

（C）1

（D）2

10．已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c，下列结论中错误的是

（A）?x0?R，f(x0)?0 （B）函数y?f(x)的图像是中心对称图形

（C）若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(??,x0)上单调递减[来源:学&科&网] （D）若x0是f(x)的极值点，则f'(x0)?0

211．设抛物线C:y?2px(p?0)的焦点为F，点M在C上，MF?5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，

则C的方程为

（A）y2?4x或y2?8x （B）y2?2x或y2?8x

（C）y2?4x或y2?16x （D）y2?2x或y2?16x

12．已知点A(?1,0),B(1,0),C(0,1)，直线y?ax?b(a?0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是

（A）(0,1) (B) (1?112121,] (D) [,) ,) ( C) (1?233222 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题～第24题为选考题，考

生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

????????13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE?BD?_______．

14．从n个正整数1,2,…n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为

1，则14n?________．

15．设?为第二象限角，若tan(???4)?1，则sin??cos??________． 216．等差数列?an?的前n项和为Sn，已知S10?0,S15?25，则nSn的最小值为________．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）△ABC在内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a?bcosC?csinB． （Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b?2，求△ABC面积的最大值．

18．（本小题满分12分）如图，直棱柱ABC?A1B1C1中，D,E分别是AB,BB1的中点，

AA1?AC?CB?2AB． 2 （Ⅰ）证明：BC1//平面A1CD； （Ⅱ）求二面角D?A1C?E的正弦值． A1B1C1AEC DB19．（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品，以X（单位：t，100?X?150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润． （Ⅰ）将T表示为X的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若X?[100,110)，则取X?105，且X?105的概率等于需求量落入[100,110)的概率）,求利润T的数学期望．

频率/组距0.0300.0250.0200.0150.010100110120130140150需求量x/t

x2y220． (本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M:2?2?1(a?b?0)的右焦点F作直

abx?y?3?0交M于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为

（Ⅰ）求M的方程；

1． 2 （Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ABCD的对角线CD?AB，求四边形ABCD面积的最大值． 21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?e?ln(x?m)．

x （Ⅰ）设x?0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m?2时，证明f(x)?0．

22．（本小题满分10分）选修4—1几何证明选讲：如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E,F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC?AE?DC?AF，B,E,F,C四点共圆． （Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；

（Ⅱ）若DB?BE?EA，求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

CF

23．（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程

已知动点P,Q都在曲线C:?DBEA?x?2cos?(?为参数)上，对应参数分别为???与??2?(0???2?)，

y?2sin??M为PQ的中点．

（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为?的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点． 24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 设a,b,c均为正数，且a?b?c?1，证明：

1a2b2c2 （Ⅰ）ab?bc?ca?； （Ⅱ）???1．

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