利用旋转变换的思想方法解题

利用旋转变换的思想方法解题

江苏 刘 顿

我们知道，旋转和轴对称、平移等一样，也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，可以将一些比较复杂的问题变得较为简单的平面图形问题，再运用旋转物知识，使问题获得简单的解决.下面我们就举例说明.

例1 如图1，正方形ABCD内一点P，∠PAD＝∠PDA＝15°，连结PB、PC，请问：△PBC是等边三角形吗？为什么？

简析 将△APD绕点D逆时针旋转90°，得△DP′C，再作△DP′C关于DC的轴对称图形△DQC，得△CDQ与△ADP经过对折后能够重合.所以PD＝QD，∠PDQ＝90°－15°－15°＝60°，所以△PDQ为等边三角形，即∠PQD＝60°.又因为∠DQC＝∠APD＝180°－15°－15°＝150°，所以∠PQC＝360°－60°－150°＝150°＝∠DQC.又因为PQ＝QD＝CQ，所以∠PCD＝∠DCP＝15°.所以∠PCD＝30°，∠PBA＝30°，所以∠PCB＝∠PBC＝60°.所以△PBC为等边三角形.

说明 旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形（或其中一部分），通过旋转，改变位置后得新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出证题途径.

图1

例2 如图2，已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E. 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图（1），易证：OD+OE＝2OC. 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图（2）、图（3）这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.

P

Q

（1） （2） （3）

图2

简析 图2结论：OD+OE＝2OC. 证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别

为P、Q.则容易得到△CPD≌△CQE，所以DP＝EQ，即OP＝OD+DP，OQ＝OE－EQ，又由勾股定理，得OP＝OQ＝2OC，所以OP+OQ＝2OC，即OD+DP+OE－EQ＝2OC，2所以OD+OE＝2OC.图3结论：OE－OD＝2OC.

说明 这种探索型的问题，求解时一定要认真阅读题目，以动制静，并进行大胆地猜想、归纳、验证，从而使问题获解.

例3 如图3－①，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转.

（1）如图3－②，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图3－③所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与G的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． N F D D（F） C C D C

N O O F O G E M A B A M A（G） B（E） G B ① ② E ③

图3

简析（1）BM＝FN.证明如下：因为△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，所以∠ABD＝∠F＝45°，OB＝OF.又∠BOM＝∠FON，所以△OBM≌△OFN.即BM＝FN（.2）BM＝FN仍然成立. 理由是：因为△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，所以∠DBA＝∠GFE＝45°，OB＝OF.所以∠MBO＝∠NFO＝135°.又∠MOB＝∠NOF，所以 △OBM≌△OFN.所以BM＝FN.

说明 利用旋转的方法构建新图形来解决实际问题，是一种重要的思想方法.本题通过旋转将一般四边形旋转成特殊四边形（正方形），体现一般――特殊的思想.