当前位置：首页 > 配套K122018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第13讲 函数的零点个数问题的求解方法
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第13讲 函数的零点个数问题的求解方法
【知识要点】
一、方程的根与函数的零点
（1）定义：对于函数y?f(x)（x?D，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y?f(x)（x?D的））零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.
（2）函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y?f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数y?f(x)的图像与x轴有交点?函数y?f(x)有零点.
（3）零点存在性定理：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有使得f(c)?0，这f(a)?f(b)?0，那么函数y?f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c?(a,b）个c也就是方程的根.
函数y?f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)?f(b)?0是函数y?f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点的一个充分不必要条件.
零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法
（1）二分法及步骤
对于在区间[a,b]上连续不断，且满足f(a)?f(b)?0的函数y?f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度?，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[a,b]，验证f(a)?f(b)?0，给定精确度?. 第二步：求区间(a,b)的中点x1.
第三步：计算f(x1)：①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；②若f(a)f(x1)?0，则令b?x1 （此时零点x0?(a,x1)）③若f(x1)f(b)?0，则令a?x1（此时零点x0?(x1,b)）
第四步：判断是否达到精确度?即若a?b??，则得到零点值a或b，否则重复第二至第四步. 配套K12内容资料
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三、一元二次方程f(x)?ax?bx?c?0(a?0)的根的分布
讨论一元二次方程f(x)?ax?bx?c?0(a?0)的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a的符号； （2）对称轴x??数值的符号.
四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结
函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】
方法一 使用情景 解题步骤
【例1 】已知函数f(x)=3x+2(1-a)x-a(a+2)区间(?1,1)内有零点，求实数a的取值范围.
222b的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函2a方程法 方程可以直接解出来. 先解方程，再求解.
【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.
【反馈检测1】函数f(x)?(x?1)cosx2在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D． 7
方法二 使用情景 解题步骤 配套K12内容资料
图像法 一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像. 先求函数的单调性，再画图分析. 配套K12内容资料
【例2】（2017全国高考新课标I理科数学）已知函数f(x)?ae（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
2x?(a?2)ex?x.
(2) ①若a?0,由（1）知f(x)至多有一个零点.
②若a?0，由（1）知当x??lna时，f(x)取得最小值，f(?lna)?1?（i）当a?1时，f(?lna)=0，故f(x)只有一个零点. （ii）当a?(1,??)时，由于1?（iii）当a?时，1?（0,1）1?lna. a1?lna>0，即f(?lna)?0，故f(x)没有零点. a1?lna?0，即f(?lna)?0. af(?2)?ae?4?(a?2)e?2?2??2e?2?2?0,故f(x)在(??,?lna)只有一个零点.
3设正整数n0满足n0?ln(?1),则f(n0)?en0(aen0?a?2)?n0?en0?n0?2n0?n0?0a3由于ln(?1)??lna,因此f(x)在（-lna,+?)有一个零点.
a综上所述，a的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当a?时，要先判断(??,lna)（0,1）的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，f(?lna)?0，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是f(?2)?ae?4?2?2?(a?2)e?2??2e?2?要0,说明f(?2)?0，这里利用了放缩法，丢掉了
ae?4?ae?2.(3) 当a?时，要判断(?lna,??)上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在（0,1）配套K12内容资料
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该区间找一个函数值为正的值，它就是n0?ln(?1)，再放缩证明f(n0)>0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.
【例3】已知x?3是函数f?x??aln?1?x??x2?10x的一个极值点. （Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数f?x?的单调区间；
（Ⅲ）若直线y?b与函数y?f?x?的图象有3个交点，求b的取值范围.
3a
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f?x?在??1,1?内单调增加，在?1,3?内单调减少，在?3,???上单调增加，且当x?1或x?3时，f'?x??0
所以f?x?的极大值为f?1??16ln2?9，极小值为f?3??32ln2?21 因此f?16??162?10?16?16ln2?9?f?1?
f?e?2?1???32?11??21?f?3?
所以在f?x?的三个单调区间??1,1?,?1,3?,?3,???直线y?b有y?f?x?的图象各有一个交点，当且仅当f?3??b?f?1?，因此，b的取值范围为?32ln2?21,16ln2?9?
【点评】本题第(3)问，由于函数f(x)中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.
ex【反馈检测2】已知函数f(x)?，其中a为实数，常数e?2.71821?ax配套K12内容资料
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