数学分析（上册）答案-张勇 杨光崇-第一章-实数集与函数

第一章 实数集与函数

思考与练习 1-1

1. 下述命题哪些成立?哪些不成立?

①任何两个有理数的差是有理数. （成立） ②任何两个无理数的差是无理数. （不成立） ③两个不同无理数之间,总有别的无理数. （成立）

2. 可以写成两个整数的比的数称为 有理数 .

3. 任何两个实数之间都有别的实数，这个性质称为实数的 稠密性 . 4. 在0.9999?和1之间还有别的数吗？ （没有）

5. 0.1234567891011121314?是有理数还是无理数？(你将看到在一个给定数字序列中的模型).

0.123456789101112131415161718192021?99100101102103104105106107108?是无理数

6. 求两个无理数,使其和是有理数. （2??2?0??） 7.“如果P则Q”的逆否命题是 “如果非Q则非P” . 8. 公理和定义是已被认可的,而 定理 则必须证明.

9. 设a为有理数,x为无理数,证明:①a?x是无理数; ②当a?0时,a?x是无理数. 证：① 用反证法：若a?x是有理数，则由有理数对四则运算的封闭性，知

??x??a?x??a??，与已知矛盾，所以a?x是无理数。

②用反证法：若a?x是有理数，则由有理数对四则运算的封闭性，知

x?ax???a?0?，与已知矛盾，所以a?x是无理数。 a10. 证明:在任意两个不同的实数之间,一定存在一个有理数;也一定存在无穷多个有理

数(提示:如果a?b,则b?a?0,所以存在一个自然数n使得

1?b?a.考虑整数集合n?k??k?b?并注意到有下界的整数集一定有最小数). ?n?证法1 (1) 由题目条件，可设a?b，则b?a?0，由欧基米德定律，存在一个自然数

?k?11?k? n使得?b?a，所以a?b??b，又?k?b?有下界，故有最小整数k0??k?b?，

nn?n??n?所以当m?k0时，有

k?1k?1k?1m?b,且a?0?b,0??.(事实上,如果?b，因而有0nnnna?k0?11k?a??0?b,此为矛盾) nnn(2) 同上可证,在a与c?k0?1k?1(或0与b)之间一定有另一个有理数d,不妨设nn1

c?d,则c?d?c??c,d???a,b??n???,n?1?,即a,b之间有无穷多个有理数. n证法2 由题目条件，可设a?b,由第1节的命题可知,存在非负整数n,使得

bn?an??an,bn???,而21b?bn?an?a,而bn,an??,第一个结论得证.又因而bn?1k?1bn?anbn?ankb???an,bn???,?bn???an,bn???,?,即a,b之间有无穷多个

222n有理数.

第二个结论的另一证法:因为an?bn?an??an,bn???a,b?n?n???,n?1?,即a,b之间有无穷多个有理数.

11. 写出下述命题的逆命题、否命题和逆否命题,并指出哪些命题是真命题. ① 如果今天下雨,我就在家里工作; ╳

② 如果这个候选人符合所有的条件,她就能被聘用; √

③ 设a,b,c是三角形的边长,如果a?b?c,则这个三角形是直角三角形; √ ④ 如果角ABC是锐角,则0?角ABC?90;√ ⑤ 如果a?b,则a?b.╳

①逆命题: 今天我在家工作,是因为天下雨. ╳ 否命题: 如果今天不下雨,我就不在家工作. ╳ 逆否命题: 今天我不在家工作,是因为天没下雨. ╳

②逆命题: 如果这个候选人能被聘用,是因为她符合所有的条件; ╳ 否命题: 如果这个候选人不符合某些条件,她就不能被聘用; ╳

逆否命题: 如果这个候选人没被聘用,那就是因为她不符合某些条件. √ ③逆命题: 设a,b,c是直角三角形的边长,则a?b?c;√

否命题: 设a,b,c是三角形的边长,如果a?b?c,则这个三角形不是直角三角形; √

逆否命题: 设a,b,c是三角形的边长,如果这个三角形不是直角三角形, 则a?b?c;√

④逆命题: 如果0?角ABC?90,则角ABC是锐角; √ 否命题: 如果角ABC不是锐角,则角ABC ?90.√ 逆否命题: 如果角ABC ?90,则角ABC不是锐角; √ ⑤逆命题: 如果a?b,则a?b.╳

2200222222222002222200 2

否命题: 如果a?b,则a2?b2.╳ 逆否命题: 如果a2?b2,则a?b.╳ 12.若x,?和y都是实数,下述命题哪些为真? ① 对任何x,x?0?x2?0; √ ② 对任何x,x?0?x2?0; ╳ ③ 对任何x,x2?x; ╳

④ 对任何x,存在y使得y?x2; √

⑤ 对任何正数y,存在另一个正数x,使得0?x?y; ⑥ 对任何的x,x?x?1; √

⑦ 存在一个自然数N,使得N大于任何素数; ╳

⑧ 对任何的x?0,存在一个y,使得y?1x; √ ⑨ 对任何的正数x,存在一个自然数n,使得1n?x; ⑩ 对任何的正数?,都存在一个正整数n,使得12n??. 思考与练习 1-2

1. 下述命题成立的有:

①由不等式x?y,y?z和z?x可得x?y?z.√ ②如果x和y是实数,则?x?y??y?x??0.√ ③如果a?b?0,则

1a?1b.√ ④如果对任意的正数?,都有x??,则x?0.√ ⑤如果x?y,则x?y. ╳

⑥如果实数x和y同号,则x?y?x?y√ ⑦如果r?1,则

11?r?11?r?11?r.√ ⑧如果r?1,则

1111?r?1?r?1?r.√ 2. 下述等式成立的有

3

√

√ √

①?x?x; ②x答: ②, ③.

2?x2; ③xy?xy; ④ x2?x.

3. 不等式0??x?2??4与0?x?2?2所表示的实数范围是否相同?

2答:不相同, 0??x?2??4所表示的实数范围是区间?0,4?,而0?x?2?2所表示的

2实数范围是区间[2,4].

24. x?2与x?4表示的实数范围相同吗?

答:相同,都是开区间??2,2?.

5. 与x?2?3等价的不等式是 -1 ?x? 5 . 6. 如果a?b,则下列哪些结论为正确的:

①a?ab ②a?3?b?3 ③a?ab ④?a??b. 答: ②, ③.

7. 试在数轴上表示出下列不等式的解:

① 2x?1?x?1 ②x?1?x?3 ③x?1?2x?1?22323x?2.

解 ① 由x(x?1)?0??2?x?0x?0??x?0?或如图2-1； ??2?x?1?0?x??1或x?1??1?x?12② 两边平方得(x?1)?(x?3)??2x?1??6x?9?x?2，如图2-2；

③ 两边平方得3x?2?2(x?1)(2x?1)?3x?2??2(x?1)(2x?1)?0?x?1且2x?1，此为矛盾，故解集为空集；

用图形法给出数轴表示，如图2-3

图2-1 图2-2 图2-3 8. 设a,b?R 证明:对任何正数?有a?b??,则a?b.

证 用反证法.若a?b,则令?0?a?b?0,由已知得a?b??0?a?b,此为矛盾.故

a?b.

9. 求?(依赖于?),使下述的蕴涵关系成立:

①x?5???3x?15??; ② x?6???6x?36??.

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