3.2 洛必达法则

第3章 中值定理与导数的应用 3．2 洛必达法则 习题解

1．用洛必达法则求下列极限：

sinax；

x?0sinbx0【解】这是“”未定型商式极限，可以应用洛必达法则求解：

0sinaxacosax ---- 应用洛必达法则 lim?limx?0sinbxx?0bcosbxacos0a?1a??。 ---- 代值计算 ?bcos0b?1bx?sinx⑵lim； 3x?0x0【解】这是“”未定型商式极限，可以应用洛必达法则求解：

0x?sinx1?cosx ---- 应用洛必达法则 lim?limx?0x?0x33x2sinx ---- 对未定型商式再应用洛必达法则 ?limx?06x⑴limsinfx()1? 1??1 ---- 套用极限公式 limf(x)?0f(x)6?1 6x3?3x?2⑶lim3； x?1x?x2?x?1【解】这是“

0”未定型商式极限，可以应用洛必达法则求解： 0x3?3x?23x2?3lim3?lim2 ---- 应用洛必达法则 x?1x?x2?x?1x?13x?2x?1?lim6x ---- 对未定型商式再应用洛必达法则

x?16x?263?? ---- 代值计算 6?22⑷limx??2tanx； tan3x【解】这是“

?”未定型商式极限，可以应用洛必达法则求解： ?1tanxcos2x ---- 应用洛必达法则 lim?lim??3x?tan3xx?22cos23x 1

第3章 中值定理与导数的应用 3．2 洛必达法则 习题解

cos23x?lim ---- 整理繁分式

?3cos2xx?2?limx??22cos3x?(?sin3x)?3 ---- 对未定型商式再应用洛必达法则

3?2cosx?(?sinx)sin6x ---- 化简复杂分式 sin2x6cos6x ---- 对未定型商式再应用洛必达法则

2cos2x?limx??2?limx??2?3cos3? ---- 代值计算

cos??3

(lnx)2⑸lim； x???x【解】这是“

?”未定型商式极限，可以应用洛必达法则求解： ?12lnx?2(lnx)x ---- 应用洛必达法则 lim?limx???x???1x2x?lim4lnx ---- 化简繁分式

x???x1?limx ---- 对未定型商式再应用洛必达法则 x???12x4?limx???8 ---- 化简繁分式 x?0

ln(x?)2； ⑹lim??tanxx?2?【解】这是“

?”未定型商式极限，可以应用洛必达法则求解： ? 2

第3章 中值定理与导数的应用 3．2 洛必达法则 习题解

1ln(x?)x?22 ---- 应用洛必达法则 lim??lim??1?tanxx?x?22cos2x???lim?x?cos2xx???2 ---- 化简繁分式

2?lim?x??22cosx(?sinx) ---- 对未定型商式再应用洛必达法则

1??2cos⑺limxex?012x2?2sin?2?0 ---- 代入计算

；

【解】这是“0??”未定型极限，应化为商式极限后应用洛必达法则求解：

11limxex?02x2?ex ---- 化为商式后，成为“”未定型商式极限 ?limx?01?2x21)'2x ---- 应用洛必达法则 ?limx?01(2)'xex(211?limex ---- 化简繁分式

1x2???2??? ---- 代入计算

⑻limxcotx；

x?0【解】这是“0??”未定型极限，应化为商式极限后应用洛必达法则求解：

limxcotx?limx?0?x ---- 化为商式后，成为“”未定型商式极限

x?0tanx?1 ---- 应用洛必达法则 ?limx?01cos2x?limcos2x ---- 化简繁分式

x?0?cos20?1 ---- 代入计算

3

第3章 中值定理与导数的应用 3．2 洛必达法则 习题解

⑼lim(secx?tanx)；

x??2【解】这是“???”未定型极限，应化为商式极限后应用洛必达法则求解：

lim(secx?tanx)?lim(?x??2x?21sinx?) ---- 为通分化为商式作准备 cosxcosx?lim21?sinx0 ---- 成为“”未定型商式极限

?cosx0x??cosx ---- 应用洛必达法则

?sinx?limx??2cos?sin⑽lim(x?1??2?0 ---- 代入计算

2x1?)； x?1lnx【解】这是“???”未定型极限，应化为商式极限后应用洛必达法则求解：

lim(x?1xlnx?(x?1)0x1 ---- 通分化为商式，成为“”未定型 ?)?limx?1(x?1)lnx0x?1lnxlnx?1?1 ---- 应用洛必达法则

x?1x?1lnx?x0xlnx ---- 化简繁分式，成为“”未定型 ?limx?1xlnx?x?10lnx?1 ---- 应用洛必达法则 ?limx?1lnx?1?10?11?? ---- 代入计算 0?22?limtanxx⑾lim； ?x?0【解】这是“0”幂指函数未定型极限，应化为商式极限后应用洛必达法则求解： 【解法一】应用对数法，令y?xtanx0，则lny?lnxtanx?tanxlnx?lnx， cotx于是，limlny?lim??x?0?lnx ---- 成为“”未定型

x?0cotx?1x ---- 应用洛必达法则 ?lim?x?01?2sinx4