第2章 函数、导数及其应用 第9节 实际问题的函数建模学案 文 北师大版

第九节 实际问题的函数建模

[考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．

(对应学生用书第27页) [基础知识填充]

1．常见的几种函数模型

(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．

(2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)． (3)二次函数模型：y＝ax＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．

(4)指数函数模型：y＝a·b＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)． (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)． (6)幂函数模型：y＝a·x＋b(a≠0)． 2．三种函数模型之间增长速度的比较

函数 性质 在(0，＋∞) 上的增减性 增长速度 nx2

kxy＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 单调递增 越来越快 随x的增大逐渐单调递增 越来越慢 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 nx单调递增 相对平稳 随n值变化而各有不同 图像的变化 表现为与y轴平行 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜x＜a 3. 解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：

[知识拓展] “对勾”函数

形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．

(2)当x＞0时，x＝a时取最小值2a， 当x＜0时，x＝－a时取最大值－2a.

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2的函数值比y＝x的函数值大．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在x0，使ax0＜x0＜logax0.( )

(4)f(x)＝x，g(x)＝2，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( ) A．100只 C．300只

B．200只 D．400只

2

axx2

nx B [由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log3 9＝200.]

3．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )

x y A．y＝2 x1.95 0.97 3.00 1.59 3.94 1.98 B．y＝log2x 5.10 2.35 6.12 2.61 12

C．y＝(x－1)

2

D．y＝2.61cos x

3

B [由表格知当x＝3时，y＝1.59，而A中y＝2＝8，不合要求，B中y＝log23∈(1,2)，

12

C中y＝(3－1)＝4，不合要求，D中y＝2.61cos 3＜0，不合要求，故选B．]

24．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为( )

B [由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图像知应选B．]

5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________. 【导学号：00090054】

1＋p1＋p1＋q－1 [设年平均增长率为x，则(1＋x)＝(1＋p)·(1＋q)，∴x＝

2

1＋q－1.]

(对应学生用书第28页)

用函数图像刻画变化过程 (1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是( )

A B C D

(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是( )

A B C D

(1)A (2)D [(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图像符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A．

(2)依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4

[规律方法] 判断函数图像与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．

[变式训练1] 设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为( )

D [y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C．又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D．]

应用所给函数模型解决实际问题 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图2-9-1①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2-9-1②.(注：利润和投资单位：万元)

① ②

图2-9-1

(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？

②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

【导学号：00090055】

[解] (1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2x(x≥0). (2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝29＝6， 所以总利润y＝8.25万元.

5分 3分

②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．