概率考试复习大纲12.21

2. 设X的概率分布如下表所示，求DX X P

3. 离散型随机变量X的分布列为： ?1 X 0．2 P 2求随机变量Y?X?1的数学期望。

0 110 1 610 2 310 0 0．3 1 0．3 2 0．2 ak4.设随机变量?只取非负整数值，且其分布列为P{??k}?(1?a)k?1a?0，试求E?.

5. 假设某种热水器首次发生故障的时间X(单位：h)服从指数分布E(0.002)，求：(1)该热水器在100小时内需

要维修的概率是多少？(2)该热水器平均能正常使用多少小时？

0?x?1?x?6. 设随机变量X~f(x)??2?x1?x?2，求EX。

?0其它?

7. 一连续随机变量X，其概率密度函数(pdf)为：

?c(1?x)x2, 0?x?1 f(x)??0, 其他?试求出：(a) 常数c;(b)

E(X2),E(2X?3).

8．设二维随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中D是由x轴、y轴及直线x?y?1?0所围成的区域．求: E(X),E(?3X?2Y),E(XY)． 历年试题

1、 设连续型随机变量X的密度函数为f(x)?2、 设连续型随机变量X的密度函数f(x)?

第五章 中心极限定理

1e2?1e2???x22,???x???，则EX=, DX=. 0,1 , ???x???, 则EX?, DX??,?2

?(x??)22?2?21、 切比雪夫不等式P{|X??|??}?2

?2、 中心极限定理

X?E(X)??N(0,1)

D(X)nX?E(X)(2) 一般分布的题若Xi相互独立，则X??Xi???N(0,1)

D(X)i?1(1) 二项分布的题

X~B(n,p)?第五章大数定律及中心极限定理

1. 设随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,1)与N(0,1)，且E(XY)??0.1, 试用契比雪夫不等式进行估计P{-4?X?2Y?6}．

2. 一复杂系统由100个相互独立的部件组成，在运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为使系统能起作用，需要至少85个部件正常工作即可，求整个系统起作用的概率．

3.某车间有200台机床，它们独立地工作着，设每台机器开工率为0.6，开工时耗电1千瓦，问供电所至少要供多少电才能以不小于0.999的概率保证车间不会因供电不足而影响生产？

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历年试题

1、 设随机变量X,Y的数学期望分布是-2, 1, 方差分别是1, 4, 两者相关系数是—0.5, 则由契比雪

夫不等式估计P(|X?2Y|?6)?. 13/36 E(X?2Y)?E(X)?2E(Y)??2?2?1?0D(X?2Y)?D(X)?4Cov(X,Y)?4D(Y)?D(X)?4?D(X)D(Y)?4D(Y)?1?4?(?0.5)?1?4?4?4?13P(|X?2Y|?6)?

D(X?2Y)13?36622、 生产灯泡的合格率为0.6，求10000个灯泡中合格灯泡在5950-6050的概率.（用?(x)表示）

解:设X表示合格灯泡数，则

X~B(n,p),n?10000,p?0.6,E(X)?np?6000,D(X)?np(1?p)?2400 所以，

5950?E(X)X?E(X)6050?E(X)P{5950?X?6050}?P{??}D(X)D(X)D(X)D(X)D(X)24002400243、 设某高校英语考试成绩近似服从均值为72的正态分布, 96分以上的考生占总数的2.3%(已知满

分为100, 合格线为60), 试求:(1) 考生成绩在60-84之间的概率;(2) 该校考生的合格率.(?(2)?0.977,?(1)?0.8413)

解:设X表示考生成绩，则X~N(?,?2)，??72

由题意有，P{X?96}?1??(所以，查表得，

96????(6050?E(X))??(5950?E(X))??(50)??(?50)?2?(5

)?196???)?0.023即?(96???)?0.977

??96?72???2，所以??12. ?84??}

???84??60????()??()??(1)??(?1)?2?(1)?1

??X??60??60???}?1??()?1??(?1)??(1) (2) P{X?60}?P{???4、 设X1,X2,?,X200是来自具有分布

X -1 1 P 1 32 3(1) P{60?X?84}?P{60??X??1的总体的随机样本,试用中心极限定理计算P(X?).(已知?(2)?0.508.)

5解：因为

12112E(X)??1??1??,E(X2)?(?1)2??12??1,33333

8D(X)?E(X2)?[E(X)]2?91D(X)84??所以，E(X)?E(X)?,D(X)?

3n9?200900

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?E(X)1X?E(X)1P{X?}?P{?5}5D(X)D(X)?1??(15?E(X)D(X))?1??(15?13

4/900)?1??(?2)??(2)第六章 抽样分布

1n1n22??X?X 1、 会计算：样本均值：X??Xi ；样本方差：S??ini?1n?1i?12、 卡方分布定义 设随机变量X1,X2,?,Xn3、 t分布定义

设随机变量X,Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~?4、 抽样分布定理 设总体X~N?,?222~N(0,1)，且相互独立，则X12?X2~?2(n). ???Xn(n)，则XY~t(n)． n?，X,X,?,X是来自总体X的简单随机样本，则

X??~N?0,1?； (1) 样本均值X~N??,?n?，即212n?2?/nni?1n?1?S2?(2) 样本方差的分布

?2?1?2X?X~?(n?1) ???i22(3) 样本均值X和样本方差S2相互独立（这是正态总体特有的性质）且

T?

X??~t(n?1) Sn第六章 抽样及抽样分布

2N(52,6.3)中随机抽取容量为36的一个样本，则样本均值X落在50.8到53.8之间的概率为 1.在总体

2. 设随机变量X?N(1，4)，Y?N(0，16)，X，Y相互独立，则U＝X-Y+7服从（）分布。 (A) N(8，23) (B) N(8，65) (C) N(1，20) (D) N(8，20)

221(X,X,?,Xn)是来自X的样本，N(?,?),?,?3. 设总体X服从正态分布为未知参数，12则

?2?(Xi?1ni?X)2服从分布。

4. 设随机变量X~N(?,?2),Y~?2(n),T?（A）T服从

t(n?1)分布（B）T服从

X??。 ?n，则（）?Yt(n)分布

（C）T服从正态分布

N(0,1)（D）T服从F(1,n)分布

5. 设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本则（）。

（A）X1,X2,?,Xn同分布（B）X1,X2,?,Xn与X同分布

（C）X1,X2,?,Xn独立同分布（D）X1,X2,?,Xn与X同分布且独立

历年试题

1、 设1,1,0,2,,2,1,1,1,0,2为样本值，则样本方差值为s?. 0.544

2、 设连续型随机变量X的均值为?，方差为?，X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本, 则

2

2

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n趋于无穷大时，

?Xi?1ni近似服从分布N(n?,n?)

211003、 设总体X?N(3,10), X1,X2,?,X100为来自总体X的简单随机样本, 则X??Xi?.

100i?1N(3,0.1)(?E(X)?E(X);D(X)?D(X)/n)

4、 设X1,X2,?,X16是来自N(0,?)的样本, S是样本均方差, 则

2?Xi?116i4S服从.t(15)

第七章 参数估计

1、 矩估计：E(X)?2、 极大似然估计：

(1) 离散型

X

na) 构造似然函数L(x1,?,xn;?)?b) 取对数求导，

?P{X?x}

ii?1dlnL(?)?0

d?c) 解出未知参数θ的极大似然估计?? (2) 连续型

a) 构造似然函数L(x1,?,xn;?)?b) 取对数求导，

?f(x)

ii?1ndlnL(?)?0

d?2c) 解出未知参数θ的极大似然估计??

3、记住：E(X)?E(X);D(X)?D(X)/n;E(S)?D(X)

第七章 参数估计

1．设总体X服从均匀分布U[0,?]，它的密度函数为

?1?,f(x;?)?????0,0?x??;otherwise.

（1） 求未知参数?的矩估计量和极大似然估计量；

（2） 当子样观察值为0.3，0.8，0.27，0.35，0.62，0.55时，求?的矩估计值。

2．设总体X的密度函数为

?(??1)x??(x,?)???00?x?1

otherwise其中???1是未知参数。(X1,X2,?,Xn)是总体X的样本，试求参数?的矩估计。

3.设总体X的概率分布为 1 2 3 X 21?? P ?2 ??? 其中?是未知参数，假设总体X有如下的样本值： 3，1，3，1，3，1，2，3，

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