概率考试复习大纲12.21

考试复习大纲

第一章 事件及概率

1、 掌握事件的关系运算：并，交，差，补；会事件的互译

德摩根定律A?B?AB；AB?A?B;

A中所含样本点数m?.

?中所含样本点数n3、 加法公式，P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB).

减法公式P(B?A)?P(B)?P(AB)

2、 会古典概率的计算；P(A)?4、 全概率公式的计算P(B)??P(A)P(B|A),

iii?1n5、 会判断事件的独立性若P?AB??P(A)P(B)，则称事件A和B独立

第一章随机事件及概率

1.对?A,B，有( )

①若AB??，则A,B一定独立②若AB??，则A,B有可能独立

③若AB??，则A,B一定独立④若AB??，则A,B一定不独立 2.若事件A，B之积为不可能事件，则A和B是( ) (A)相互独立 (B)互不相容 (C)对立事件 (D)相等 3.如果( )成立，则事件A与B互为对立事件

(A) AB?? (B)A?B?? (C) AB??且A?B?? (D)A与B互不相容 4.设P(AB)=0，则( )成立。

(A)A与B互不相容 (B) A与B相互独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)= P(A) 5.设P(A)=a, P(B)=b, P(A∪B)=c, 则 P(A-B)=( )。 (A)a-b (B)c-b (C)a(-b) (D)b-a

6.已知P(A)=0.8, P(A-B)=0.5，且事件A与B相互独立，则P(B)=。 7.假设P(A)=0.4，P(A∪B)=0.7，若A，B互不相容，则P(B)=； 8.若A，B相互独立，则P(B)=。

9..设A、B、C是样本空间?中的三个随机事件，试用A、B、C的运算表达式表示下列随机事件. (1)与B发生但C不发生； (2)事件A、B、C中至少有一个发生； (3)事件A、B、C中至少有两个发生； (4)事件A、B、C中恰好有两个发生； (5)事件A、B、C中不多于一个事件发生.

10.袋中有a只白球，b只黑球，从中任意取一球，不放回也不看，再取第二次，求第二次取到白球的概率。 11.有三个形状相同的箱子,在第一个箱中有两个正品,一个次品;在第二个箱中有三个正品,一个次品;在第三个箱中有两个正品,两个次品.现从任何一个箱子中,任取一件产品,求取到正品的概率. 历年试题

12. 设甲箱中有6个白球，4个黑球，乙箱中有3个白球，5个黑球，自甲箱中任取一球放入乙中，

然后再从乙箱中任取一球，求从乙箱中取出的球为白球的概率.

解：设B表示从乙箱中取出的为白球，A表示从甲箱中取出的球为白球

6344则 P(A)?10 ,P(A)?10,P(B|A)?9,P(B|A)?96344由全概率公式，得P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?10?9?10?9?0.4

13.设袋中有8个红球, 2个黑球, 每次从袋中摸取一个球并且不放回, 那么第一次与第三次都摸到红球的概率是.

14.同时掷两颗骰子，则点数和大于10的概率是.

336810762(9?78?9?8)

~ 1 ~

15.设概率P(A)?0.3,P(B)?0.5,P(A?B)?0.6, 则P(AB)=.0.1

解：

P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.2P(AB)?P(A)?P(AB)?0.117.已知一批产品有30%的一等品，进行重复抽样，共取5个样品，求 (1) 取出的5个样品中恰有2个一等品的概率； (2) 取出的5个样品中至少有2个一等品的概率. 解：设X表示取出的产品中一等品数

223(1) P(X?2)?C50.30.7

(2) P(X?2)?1?C50.30.7?C50.30.7

18.假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取

005114

到是一等品的概率.0.6/0.9=2/3

19.用3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2.各机床加工零件为合格品的概率分别为0.94，0.9，0.95.求从全部产品中任取一件是合格品的概率. 解：设B表示取出的为合格品，Ai表示零件由第i 台机床加工（i=1,2,3）

P(A1)?0.5,P(A2)?0.3,P(A3)?0.2,则

P(B|A1)?0.94,P(B|A2)?0.9,P(B|A3)?0.95,由全概率公式，得P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.5?0.94?0.30?0.9?0.2?0.95

i?13

20.某矿内有甲乙两个报警系统, 单独使用时甲的有效性为0.92, 乙为0.93, 且在甲失灵的条件下乙有效的概率为0.85, 求意外发生时, 甲乙至少有一个有效的概率, 以及乙失灵时甲有效的概率.

解：设A表示甲系统有效，B表示乙系统有效 由题有P(A)?0.92,P(B)?0.93,P(B|A)?0.85, 则

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(A)P(B|A)?0.92?0.08?0.85?0.988 P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.92?0.93?0.988?0.862P(A|B)?P(AB)P(A)?P(AB)0.92?0.862???0.8286P(B)1?P(B)0.07

21．已知男人中色盲人数所占比例是5%, 女人中色盲人数所占比例是0.25%. 现从男女人数各占一半的人群中随机选取一人, 求该人恰是色盲者的概率. 解：设B表示为色盲者，A表示取到的是男人

则 P(A)?0.5,P(A)?0.5,P(B|A)?0.05,P(B|A)?0.0025

由全概率公式，得P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.5?0.05?0.5?0.0025?0.02625

第二章 随机变量

1、 离散型随机变量：

(1) 分布列：其中待定常数求解

(2) 常用分布的概率函数：二项分布B(n,p)，泊松分布P(?)

(3) 分布函数：待定常数的求解；已知分布列求分布函数；已知分布函数求分布列

~ 2 ~

(4) 函数的分布： 2、 连续型随机变量

(1) 密度函数f(x)：待定系数求解

(2) 记住常用分布的密度函数f(x)：均匀分布U[a,b]，指数分布E(?)，正态分布N(?,?2) (3) 分布函数F(x)：待定常数的求解；已知密度函数f(x)求分布函数F(x)；已知分布函数F(x)求密度函数f(x);已知分布函数F(x)求概率 (4) 函数的分布：分布函数法

3、正态分布的概率计算

第二章 随机变量及其分布 1. 设随机变量X的密度函数f(x)?(A)

1? (B)

2? (C)

k(???x???)，则k的值是( ) 1?x212? (D)

?

2. 设随机变量X的概率密度为

?4x3,0?x?1 f(x)?????其他则使P?X(A)?a??P?X?a?成立的常数a?( )

111 (B)42 (C) (D)1? 44222a,a为常数,k?1,2,?,则a?. k53. 设随机变量?的概率分布为P(??k)?54. 设随机变量X~B(2,p),Y~B(3,p),若P?X?1??，求P?Y?1?．

97. 设随机变量X的概率分布为 X -2 -1 0 1 p 0.05 0.15 0.20 0.25 2 0.2 3 0.15 求Y?2X?1和Z?X2的概率分布.

?4x3,0?x?18. 设X~f(x)??，

???其他求(1)随机变量Y?2X?3的概率密度.(2)随机变量Y??2X?3的概率密度.

X2(3) 随机变量Y?X的概率密度.（其他函数如Y?e，Y?|X|等）

?kx(1?x)0?x?19. 设随机变量X的密度函数为f(x)??其中常数k?0，试确定k的值并求概率P{X?0.3}0其它?和X的分布函数。

?a?,t?100,10. 设某型号的电子管其寿命(以小时计)为一随机变量，密度函数为f(t)??t2(其中a为未知参数)，某

??0,t?100.一无线电器材配有三个这种电子管，求使用150小时内不需要更换的概率．

11. 设随机变量X~N(10，22)，求P?8?X?14?.

12. 设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为

?32?x, 0?x?2， f(x)??8?0, 其他.?

~ 3 ~

若已知事件A??X?a?和B??Y?a?独立，且P(A?B)?13. 已知随机变量X的概率密度为

3，求常数a． 4?ax?b, 1?x?3, f(x)??0, 其他.?其中a,b为常数，又知P{2?X?3}?2P{?1?X?2}．试求P{0?X?}．

14.某单位招聘2500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10000人报名，假设报名者的成绩X~N(?,?2),

已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问被录用者中最低分为多少？(考查正态分布计算) 历年试题

321.

???0e?x22dx?.?/2 kkn?k2. 设X~B(n,p)，则P{X?k}? .Cnp(1?p)3. 设X~N(?,?)，则P{X????}? .?(1)

2

4. 用来描述只有两个相互对立结果的随机变量所服从的分布为.二点分布B(1,p)

5. 设随机变量X服从正态分布N(1,4), 已知?(1)?a, 其中?(x)表示标准正态分布的分布函数,

则P{?1?X?3}?.2?(1)?1?2a?1

x?0?0,6. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??, 求（1）常数A，B；(2)P(0.5

解:(1) 因为1?F(??)?A?B?0?A

又因为F(x)右连续，所以有F(0)?0?F(0?0)?A?Be0?A?B 所以A?1,B??1

(2) P{0.5?X?1}?F(1?0)?F(0.5)?(1?e?2)?(1?e?1)?e?1?e?2

?0,x?0(3) f(x)?F?(x)???2x

?2e,x?0?2x,0?x?17. 设随机变量X的密度函数为f(x)??，求(1)Y?X2的密度函数fY(x)；(2) E(Y)，D（Y）.

?0,其他解:(1) 因为FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y} 当 y?0时，FY(y)=0，

当 y?0时，FY(y)?P{?y?X?y}?FX(y)?FX(?y)，

fY(y)?FY?(y)?fX(y)?(y)??fX(?y)?(?y)??fX(y)?所以，fY(x)???1,0?y?1??

0,其他2y?1?1,0?x?1

?0,其他

~ 4 ~