利用递推关系式求数列的通项公式(有答案绝对好精品)

利用递推关系式求数列的通项公式

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 ◆一、直接法

根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：

1、1,3,7,15,31,……… 2、2,6,12,20,30,………

21213、2,1,,,,………

32534、1,-1,1,-1……… 5、1、0、1、0……… ◆二、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

?S1????????????????n?1n②若已知数列的前项和Sn与an的关系，求数列?an?的通项an可用公式an??求解.

S?S???????n?2n?1?n(注意：求完后一定要考虑合并通项)

2例2．①已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?n?n?1，求数列?an?的通项公式.

②已知等比数列?an?的首项a1?1，公比0?q?1，设数列?bn?的通项为bn?an?1?an?2，求数列的通项公式。

◆三、归纳猜想法

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。

例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列An(xn,0),n?N，其中x1?0，x2?a(a?0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An?2An?1的中点，…

（1） 写出xn与xn?1,xn?2之间的关系式（n?3）。

（2） 设an?xn?1?xn，计算a1,a2,a3，由此推测?an?的通项公式，并加以证明。

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*?bn?

◆四、累加（乘）法

对于形如an?1?an?f(n)型或形如an?1?f(n)an型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4. 若在数列?an?中，a1?3，an?1?an?n，求通项an。

n变式1：已知数列{an}满足an?1?an?2?3?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。

变式2.已知数列{an}中, an?0且Sn?1n(an?),求数列{an}的通项公式. 2an

n*例5.在数列?an?中，a1?1，an?1?2an（n?N），求通项an。

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22变式3：设?an?是首项为1的正项数列，且?n?1?an?1?nan?an?1an?0（n=1，2， 3，…），则它的通

项公式是an=________.

◆五、取倒（对）数法

ra、an?1?pan这种类型一般是等式两边取对数后转化为an?1?pan?q，再利用待定系数法求解

b、数列有形如f(an,an?1,anan?1)?0的关系，可在等式两边同乘以

11,先求出,再求得an.

anan?1anc、an?1?f(n)an解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an?1?pan?q。

g(n)an?h(n)例6.．设数列{an}满足a1?2,an?1?

an(n?N),求an. an?32例7 、 设正项数列?an?满足a1?1，an?2an?1（n≥2）.求数列?an?的通项公式.

◆六、迭代法

迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.

n -1

例8、设a 0为常数，且a n＝3 －2 a n -1（n为正整数）证明对任意n≥1 ，

nn -1nnn

a n＝ [ 3 ＋（－1）· 2 ]＋（－1） · 2 a 0

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◆七、待定系数法：

求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。

例9．已知数列{an}中，a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?的通项公式。

例10．已知数列

例11 已知数列

{an}满足

an?1?2an?4?3n?1，a1?1，求数列

?an?的通项公式。

{an}满足

an?2?5an?1?6an,a1??1,a2?2，求数列

{an}的通项公式。

例12. 在数列{an}中，

◆八：特征根法。

a1?3,2an?an?1?6n?3a2,求通项n.（待定系数法）

1、设已知数列{an}的项满足a1?b,an?1?can?d,其中c?0,c?1,求这个数列的通项公式。作出一个方程

x?cx?d,则当x0?a1时，an为常数列，即an?a1;当x0?a1时,an?bn?x0，其中{bn}是以c为公比的等比

n?1数列，即bn?b1c,b1?a1?x0.

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