数值分析第一次作业答案

作业

1.用如下数值表构造不超过3次的插值多项式

x 0 1 2 f(x) 1 2 9 f’(x) 3 2. P55 11题.给出概率积分y?2??x0e?x2dx的数据表 i 0 1 2 3 x i 0.46 0.47 0.48 0.49 y i 0.4846555 0.4937452 0.5027498 0.5116683 用2次插值计算，试问：

(1) 当x = 0.472时，积分值等于多少? (2) 当x 为何值时，积分值等于0.5？ 解：(1) 取x 0 = 0.47， x 1 = 0.48, x 2 = 0.49

y(0.472)?y(x?x1)(x?x2)?(x?x0)(x?x2)0)(x?x1)0(x1?y(x?x20?x1)(x0?x2)y(x1?x0)(x1?x2)(x2?x0)(x2?x1)?L2(0.472)?0.4937452?(0.472?0.48)(0.472?0.49)(0.47?0.48)(0.472?0.49)?0.5027498?(0.472?0.47)(0.472?0.49)(0.48?0.47)(0.48?0.49)?0.5116683?(0.472?0.47)(0.472?0.48)(0.49?0.47)(0.49?0.48)?0.355496544?0.180989928-0.040933464?0.495553008

1

(2)

i 0 1 2 y i 0.4937452 0.5027498 0.5116683 x i x(0.5)??0.47 0.48 220.49 00x(y?0(y?0yy11)(y?)(y?2)2y0y)?x(y?1(y?1yy00(y?yy)?x)(y?y)(y?y)(y?122)(y?)(y?1)1y2y)L2(0.5)(0.5?0.5027498)(0.5?0.5116683)(0.4937452(0.5027498(0.5116683?0.5027498)(0.4937452?0.4937452)(0.5027498?0.4937452)(0.5116683?0.5116683)?0.5116683)?0.5027498)?0.47?

?0.48? ?0.49?(0.5?0.4937452)(0.5?0.5116683)(0.5?0.4937452)(0.5?0.5027498)?0.093439176?0.436220438-0.052723675?0.476935939

3. 证明方程ex+10x－2＝0在区间[0，1]内有一个根，如果使用二分法求该区间内的根，且误差不超过10－6，试问需要二分区间[0，1]多少次？

4. 设xt＝451.01为准确值，xa＝451.023为xt 的近似值，试求出xa有效数字的位数及相对误差 作业答案

1.解：N2(x) = f (0)+f [0，1](x-0)+ f [0，1，2](x-0) (x-1) 1＋1×(x-0) ＋3×(x-0) (x-1)＝3x2-2x+1 为求得P3(x)，根据插值条件知，P3(x)应具有下面的形式 P3(x)＝N2(x)＋k(x-0) (x-1) (x-2)，这样的P3(x)自然满足：

P3(xi)= f (xi)

由P3’(1 )=3

P3’(1 )= N2’(1 )+k (1-0) (1-2) =N2’(1 )－k = 4－k=3

2

∴ k =1

∴ P3(x)＝N2(x)＋ (x-0) (x-1) (x-2)=x3+1 3. 证明 令f(x)＝ex+10x－2，

∵ f(0)=-1<0，f(1)=e+8> 0

∴ f(x)= ex+10x－2 =0在[0，1]有根。又

f?(x)= ex+10 >0(x?[0，1])，故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根。 给定误差限10－6，有

k?ln(b?a)?ln?6ln10ln2?1?ln2?1

只要取k＝19次.

4. 解： |xa－xt|＝|451.023－451.01|＝0.013<0.05＝0.5×10-1

xa＝451.023＝0.451023×103 ，3－l＝－1，∴l＝4 ∴xa有4位有效数字

exa?xt0.013r?x?t451.01?0.0029%

取?1?(n?1)r=

2?*10

1e*x*??r??x称为相对误差限。

3