椭圆经典例题

心海一舵中小学生课外成长学堂

高考复习椭圆

一、知识归纳：

1．椭圆的定义.__________________________________________________.

定义中“距离的和”记为____，焦距记为____。则当a____c时，轨迹为椭圆；则当a____c 时，轨迹为线段；则当a____c时，轨迹不存在。 2.椭圆的方程.

(1)标准方程______________________, ________________________； (2)一般方程______________________.

x2y23.椭圆的几何性质：以方程2?2?1(a?b?0)为例.

ab 范围_________；对称轴__________________、对称中心________；顶点坐标_________；

焦点坐标_________；离心率的取值范围____________. 二、例题讲评：

例1. (1). 已知椭圆的两个焦点是(?3,0),(3,0), 且点(0,2)在椭圆上, 则椭圆的标准方程是（ A ）

x2y2 A. ??1

134

x2y2x2y2B. ??1 C. ??1

94413x2y2D. ??1

492)，则椭 (2).已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过点P1(6,1)和点P2(?3,?x2y2??1 圆的方程为___________________________.93

(3).点P与点F(2,0)的距离和它到直线x?8的距离的比是1:2，则点P的轨迹方程

22___________________________.x?y?1

1612

x2y2例2.(1).已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF?x轴， 直线ABa???b?????交y轴于点P．若AP?2PB，则椭圆的离心率是（ ）

3211 B． C． D． 2232????????1D解析:对于椭圆，因为AP?2PB，则OA?2OF,?a?2c,?e?

2A．

x22

(2).已知椭圆2+y=1（a>1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点,且∠F1PF2=60°，则|PF1|2|PF2|

a的值为（ D ） A.1

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1

B.

1 3 C.

4 3 D.

2 3心海一舵中小学生课外成长学堂

x2y2(3).椭圆??1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|?4，则|PF2|? ；

92?F1PF2的大小为 . 解析. ∵a?9,b?3，

∴c?22a2?b2?9?2?7，

∴F1F2?27，

又PF1?4,PF1?PF2?2a?6，∴PF2?2， 又由余弦定理，得cos?F1PF2??22?42?272?2?4???21??，

2∴?F1PF2?120，故应填2,120.

x2y2?(4)椭圆=1上一点P到两焦点的距离之积为m，当m取最大值时，P点坐标为 259A.(5,0),(?5,0) B.（2,32）（5,?32）C.（52,3）（－52,3） D.(0,3),(0,?3)

52222222

x2y2??1和直线l：x?y?9?0上取一点P，经过点P且以已知椭圆的焦点为焦点 例3.已知椭圆

145作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程.

x2y2解：由已知椭圆??1得其焦点为F1(?3,0)和F2(3,0)，它们也是所求椭圆焦点，

145x2y2所求椭圆方程可设为2?2?1(a?b?0)依条件知l与椭圆相切，

ab?x?y?9?0?2222222由?x2y2消去y得：(a?b)x?18ax?81a?ab?0 ① ?2?2?1b?a??(18a2)?4(a2?b2)(81a2?a2b2)?0 化简得a2?b2?81 ② 方程

又F1(?3,0)和F2(3,0)得a?b?9 ②

22x2y2??1 由②②联立解得a?45,b?36 故所求的方程为

453622

x2y2→→

例4.(青岛模拟)已知F1、F2是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2.若△

abPF1F2的面积为9，则b＝________.

→→

[审题视点] 关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用PF1⊥PF2，进而得解．

→→

解析 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1⊥PF2，

2222

∴|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4c，

22

∴(|PF1|＋|PF2|)－2|PF1||PF2|＝4c，

222

∴2|PF1||PF2|＝4a－4c＝4b.

2

∴|PF1||PF2|＝2b，

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1

∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|

2

122

＝32b＝b＝9. 2

∴b＝3. 答案 3

例5. (1)求与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程．

43

(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．

[审题视点] 用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点位置是否确定． 解 (1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t(t＞0)，

432－3∵椭圆过点(2，－3)，∴t＝＋43故所求椭圆标准方程为＋＝1.

86

(2)设所求的椭圆方程为

2

2

x2y2

x2y2

＝2，

x2y2

x2y2y2x2

＋＝1(a＞b＞0)或2＋2＝1(a＞b＞0)， a2b2ab??2a＝5＋3，

由已知条件得?222?2c＝5－3，?

2

解得a＝4，c＝2，b＝12.

故所求方程为＋＝1或＋＝1.

16121612

例6. (1)求长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)的椭圆的标准方程．

x2y2y2x2

x2y2

(2)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形，求

ab椭圆的方程．

解 (1)若椭圆的焦点在x轴上，

x2y2

设方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，

ab9

∵椭圆过点A(3,0)，∴2＝1，a＝3，

a∵2a＝322b，∴b＝1，∴方程为＋y＝1.

9

若椭圆的焦点在y轴上，

x2

2

y2x2

设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，

ab09

∴椭圆过点A(3,0)，∴2＋2＝1，∴b＝3，

2

ab又2a＝322b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.

819综上所述，椭圆方程为＋y＝1或＋＝1.

9819

332xy222

(2)由△FMN为正三角形，则c＝|OF|＝|MN|＝3b＝1.∴b＝3.a＝b＋c＝4.故椭圆方程为＋＝1.

22343

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3

2

2

y2x2

x2

2

y2x2

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x2y2例7.已知椭圆??1和直线l：x?y?9?0上取一点P，经过点P且以已知椭圆的焦点为焦点

145作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程.

x2y2解：由已知椭圆??1得其焦点为F1(?3,0)和F2(3,0)，它们也是所求椭圆焦点，

145x2y2所求椭圆方程可设为2?2?1(a?b?0)依条件知l与椭圆相切，

ab?x?y?9?0?2222222由?x2y2消去y得：(a?b)x?18ax?81a?ab?0 ① ?2?2?1b?a22222222方程①的??(18a)?4(a?b)(81a?ab)?0 化简得a?b?81 ②

又F1(?3,0)和F2(3,0)得a?b?9 ②

22x2y2由②②联立解得a?45,b?36 故所求的方程为??1

453622例8. 已知椭圆G：＋y＝1.过点(m,0)作圆x＋y＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．

4

(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；

(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

[审题视点] (1)由椭圆方程可直接求出c，从而求出离心率．(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值． 解 (1)由已知得，a＝2，b＝1，

22

所以c＝a－b＝3.

所以椭圆G的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，

c3

离心率为e＝＝. a2

(2)由题意知，|m|≥1.

3??3??

当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为?1，?，?1，－?，此时|AB|＝3.

2??2??当m＝－1时，同理可得|AB|＝3.

当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．

x2

222

y＝kx－m，??2由?x2

＋y＝1.??4

得(1＋4k)x－8kmx＋4km－4＝0.

22222

设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则

2228km4km－4

x1＋x2＝2，x1x2＝2.

1＋4k1＋4k|km|22

又由l与圆x＋y＝1相切，得2＝1，

k＋1

222

即mk＝k＋1.

22

所以|AB|＝x2－x1＋y2－y1＝

22

1＋k[x1＋x2－4x1x2]＝

422264km44km－4??2

1＋k?22－2? 1＋4k?1＋4k?

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