归纳与技巧：数列的综合应用（含解析）

归纳与技巧：数列的综合应用

基础知识归纳

1．数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：

2．数列应用题常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．

基础题必做

1．某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是( )

A．800 B．820 C．840

D．860

解析：选B 由题意可设高一、高二、高三三个年级的人数分别为a－d，a，a＋d. 2 460

则a－d＋a＋a＋d＝2 460，解得a＝＝820.

3故高二年级共有820人．

2．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )

A．6秒钟 C．8秒钟

B．7秒钟 D．9秒钟

－

解析：选B 设至少需n秒钟，则1＋21＋22＋?＋2n1≥100，

1－2n即≥100，解得n≥7. 1－2

3．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有( ) A．a3＋a9≤b4＋b10 C．a3＋a9≠b4＋b10

B．a3＋a9≥b4＋b10

D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定

2解析：选B a3＋a9≥2a3a9＝2a6＝2a6＝2b7＝b4＋b10，当且仅当a3＝a9时，不等式

取等号．

2ππ

4．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为，公差为，则这个多边形336的边数为________．

解析：由于凸n边形的内角和为(n－2)π， 2πn?n－1?π

故n＋×＝(n－2)π. 3236

化简得n2－25n＋144＝0.解得n＝9或n＝16(舍去)． 答案：9

5．设曲线y＝xn1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，xn＝________，

＋

令an＝lg xn，则a1＋a2＋?＋a99的值为________．

解析：∵y＝xn1，∴y′＝(n＋1)xn，

＋

它在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)， 与x轴交点的横坐标为xn＝1－

1n

＝， n＋1n＋1

由an＝lg xn得an＝lg n－lg(n＋1)， 于是a1＋a2＋?＋a99

＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg3＋?＋lg 99－lg 100＝lg 1－lg 100＝0－2＝－2. 答案：

n

－2 n＋1

解题方法归纳

1.对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，有的数列并没有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．

2．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步提高，这一部分内容也将受到越来越多的关注．

等差数列与等比数列的综合问题

典题导入

[例1] 在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.

(1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an. [自主解答] (1)证明：∵bn＝log2an， an＋1

∴bn＋1－bn＝log2＝log2q为常数，

an∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q. (2)∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2， ∵a1>1，∴b1＝log2a1>0. ∵b1b3b5＝0， ∴b5＝0.

???b1＋2d＝2，?b1＝4，?∴解得? ?b1＋4d＝0，???d＝－1，

n?n－1?9n－n2∴Sn＝4n＋×(－1)＝. 22

???q＝，?log2q＝－1，

∵?∴?2?log2a1＝4，??

1

?a1＝16，

∴an＝25n(n∈N*)．

－

试比较(2)求出的Sn与an的大小． 解：∵an＝25n>0，

－

n?9－n?当n≥9时，Sn＝≤0，

2∴n≥9时，an>Sn.

∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1， 111a6＝，a7＝，a8＝，

248

S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，

S6＝9，S7＝7，S8＝4， ∴当n＝3,4,5,6,7,8时，anSn.

解题方法归纳

解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．

以题试法

1． 已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16. (1)求数列{an}的通项公式；

b1b2b3bn(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式an＝＋2＋3＋?＋n(n为正整数)，求数列{bn}的

2222前n项和Sn.

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则依题意知d>0， 由a2＋a7＝16，得2a1＋7d＝16，① 由a3a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55，②

由①得2a1＝16－7d，将其代入②得(16－3d)(16＋3d)＝220，即256－9d2＝220.∴d2＝4，又d>0，

∴d＝2，代入①得a1＝1， ∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1. b1(2)∵当n＝1时，a1＝，∴b1＝2.

2

bn－1bnb1b2b3当n≥2时，an＝＋2＋3＋?＋n－1＋n，

22222bn－1b1b2b3an－1＝＋2＋3＋?＋n－1，

2222

bn＋

两式相减得an－an－1＝n，∴bn＝2n1，

2

??2，n＝1，∴bn＝?n＋1

?2，n≥2.?

当n＝1时，S1＝b1＝2；