平行四边形性质和判定综合（一）（教案）

点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

2. 如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形． 答案

证明：连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD． ∵BE=DF，∴OE=OF．

∴四边形AECF为平行四边形． 分析

考点：平行四边形的判定与性质。 专题：证明题。

分析：根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形． 点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

3.在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF． 求证：四边形BEDF是平行四边形． 答案

证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD． 又∵△ADE和△CBF都是等边三角形， ∴DE=BF，AE=CF．

∠DAE=∠BCF=60°． ∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF， ∠BAE=∠DAB﹣∠DAE， ∴∠DCF=∠BAE． ∴△DCF≌△BAE（SAS）． ∴DF=BE．

∴四边形BEDF是平行四边形． 分析

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 专题：证明题。

分析：由题意先证∠DAE=∠BCF=60°，再由SAS证△DCF≌△BAE，继而题目得证． 点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

4.如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 答案

证明：∵E是AC的中点， ∴EC=AC， 又∵DB=AC， ∴DB=EC． 又∵DB∥EC，

∴四边形DBCE是平行四边形． ∴BC=DE． 分析

考点：平行四边形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形DBCE是平行四边 形，即可证明BC=DE．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系． 【拔高】

1. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s

的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？

答案

解：设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．

（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形；

（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四边形APQB是平行四边形 分析

考点：平行四边形的判定与性质；梯形。 专题：动点型。

分析：若四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，那么QD=CQ或AP=BQ，根据这个结论列出方程就可以求出时间．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质与判定，不过用运动的观点结合梯形的知识出题学生不是很适应．

课程小结

1． 灵活运用平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键。 2. 三角形的相关性质定理起到辅助解答的作用。

3．辅助线的作法比较简单，构造全等或者构造出对角线相交等等。

课后作业

【基础】

1.如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点， 求证：AE与DF互相平分．

考点：平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理。 专题：证明题。

分析：要证AE与DF互相平分，根据平行四边形的判定，就必须先四边形ADEF为 平行四边形．

解答：证明：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知： DE∥AC，DE=AF， EF∥AB，EF=AD，

∴四边形ADEF为平行四边形． 故AE与DF互相平分．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．

2.已知：如图，在?ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．

求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形． 考点：平行四边形的判定与性质。