高考数学总复习讲义：简单线性规划

简单的线性规划

【考纲要求】

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。

3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；

4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。 【知识网络】

不等式（组）的应用背景

简单的线性规划

二元一次不等式（组）表示的区域 简单应用

【考点梳理】

【高清课堂：不等式与不等关系394841 知识要点】

考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

要点诠释：

画二元一次不等式Ax?By?C?0(?0)或Ax?By?C?0(?0)表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线l:Ax?By?C?0（有等号画实线，无等号画虚线）；

②当C?0时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当C?0时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域。 简称：“直线定界，特殊点定域”方法。

考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.

要点诠释：

判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：

因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号

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即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.

考点三：线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=ax+by(a，b∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 要点诠释：

在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：

①一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。 ②一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在； ③所求的目标函数是有约束（限制）条件的；

④必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性函数。 考点四：解线性规划问题总体步骤： 设变量→找约束条件，找目标函数

??求出最优解 作图，找出可行域???要点诠释：

线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：

①在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；

②给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务． 【典型例题】

类型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1．画出3x+y-3<0所表示的平面区域. 【解析】

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举一反三：

【变式1】下面给出四个点中，位于??x?y?1?0，?y?1?0表示的平面区域内的点是（ ?xＡ．(0，2) Ｂ．(?2，0) Ｃ．(0，?2) Ｄ．(2，0) 【答案】C

【变式2】(x?2y?1)(x?y?4)?0表示的平面区域为（ ）

A B C D

【答案】B；原不等式可转化为??x?2y?1?0?y?4?0或??x?2y?1?0y?4?0

?x?x?【变式3】画出不等式2x?y?4?0表示的平面区域。 【解析】先画直线2x?y?4?0（画成虚线）.

取原点(0,0)代入2x?y?4得2?0?0?4??4?0, ∴原点不在2x?y?4?0表示的平面区域内， 不等式2x?y?4?0表示的区域如图：

例2．画出下列不等式组表示的平面区域。

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）

?x?3?x?y?2?2?x?y?3?2y?x?x?2y?3?x?2y?4???（1）?； （2）?； （3）?.

x?0?3x?2y?6?x?0????y?0?2y?x?6?y?0?【解析】

（1） （2） （3）

举一反三：

?0 【变式1】用平面区域表示不等式(x?y?1)(x?y?4）【解析】

?3x?2y?2?0,?【变式2】求不等式组?x?4y?4?0,的整数解。

??2x?y?6?0【解析】如图所示，

作直线l1:3x?2y?2?0，l2:x?4y?4?0，l3:2x?y?6?0，

在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，

此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,－1)，(2,－1)，(3,－1)即为原不等式组的整数解。

类型二：图解法解决简单的线性规划问题.

【高清课堂：不等式与不等关系394841 基础练习一】

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