天津市南开中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析

3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（ ）

A． R=2r B． R=r

考点： 圆锥的计算；弧长的计算． 专题： 压轴题． 分析： 让扇形的弧长等于圆的周长即可． 解答： 解：根据扇形的弧长等于圆的周长， ∴扇形弧长等于小圆的周长， 即：

=2πr，

C． R=3r

D． R=4r

解得R=4r，故选D． 点评： 考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．

4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）

A． （a﹣b）=a﹣2ab+b B． （a+b）=a+2ab+b

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C． a﹣b=（a+b）（a﹣b） D． a+ab=a（a+b）

考点： 平方差公式的几何背景． 专题： 计算题． 分析： 可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式．

解答： 解：正方形中，S阴影=a﹣b；

梯形中，S阴影=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；

故所得恒等式为：a﹣b=（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 点评： 此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．

5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（ ）

2

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2

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2

2

A． ﹣3，﹣2，﹣1，0 B． ﹣2，﹣1，0，1 C． ﹣1，0，1，2 D． 0，1，2，3

考点： 两条直线相交或平行问题． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则交点坐标的符号为（+，﹣），解关于x、y的方程组，使x＞0，y＜0，即可求得m的值． 解答： 解：由题意得

，

解得，

∵直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，

∴，解得：﹣3，

又∵m的值为整数，∴m=﹣2，﹣1，0，1， 故选B． 点评： 考查了平面直角坐标系中点的符号，是一道一次函数综合性的题目，是中档题．

二、填空题（每小题4分，共24分） 6．定义新运算：a⊕b=

，则函数y=3⊕x的图象大致是

．

考点： 一次函数的图象；反比例函数的图象． 专题： 新定义． 分析： 根据题意可得y=3⊕x=

数图象所在象限和形状，进而得到答案． 解答： 解：由题意得y=3⊕x=

，

，再根据反比例函数的性质可得函

当x≥3时，y=2；当x＜3且x≠0时，y=﹣，图象如图：，

故答案为：

点评： 此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8

= π ．

考点： 实数的运算；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题． 分析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果． 解答： 解：原式=π﹣3.14++3.14﹣=π，

故答案为：π 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．函数y=

的自变量x的取值范围是 x＜﹣1或x≥4 ．

考点： 函数自变量的取值范围． 分析： 根据被开方数为非负数和分母不能为0计算即可．

2

解答： 解：由题意得，x﹣3x﹣4≥0，x+1≠0， 解得，x＜﹣1或x≥4， 故答案为：x＜﹣1或x≥4． 点评： 本题考查的是函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为

a ．

2

考点： 正多边形和圆． 分析： 由于正三角形各边三等分，就把整个三角形平均分成9个小正三角形，以这六个分点为顶点构成一个正六边形正好相当于6个小正三角形的面积． 解答： 解：如图所示：

∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的等分点， ∴连接正三角形的顶点与它对边的中点，可以看出新的正六边形的面积是六个小正三角形的面积之和，

∵边长为a的正三角形各边三等分， ∴小正三角形的边长为a，

2

∴每个小正三角形的面积是×a×

2

2

=a×a=a，

∴新的正六边形的面积=故答案为：

a．

2

a×6=a；

点评： 此题考查了正三角形的性质、正三角形面积的计算方法；熟练掌握正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为 60° ，cos∠ABC=

．

考点： 圆周角定理；特殊角的三角函数值． 分析： 由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB=90°，则∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A=∠CDB，由此得解．

解答： 解：连接AC， ∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°； 又∵∠A=∠CDB=30°，