计算方法实验指导书

计 算 方 法

实验指导书

目 录

实验一 牛顿插值公式求函数值

实验二 复化求积公式求积分

实验三 高斯列主元消去法解线性方程组

实验四 简单迭代法解线性方程组

实验五 常微分方程初值问题的数值解

１

实验一 牛顿插值公式求函数值

一、实验目的

理解插值的基本概念，掌握牛顿插值计算函数值的方法及程序实现。 二、实验内容

给定(xi,yi),i?0,1,?,n，构造牛顿插值多项式Nn(x)，使得

Nn(x)?yi,i?0,1,?,n

并用所构造的牛顿插值多项式Nn(x)，对给定的x计算出Nn(x)的值。 算法描述

输入n值，及(xi,yi),i?0,1,?,n；记f(x)?yi。 for k=0,1,…,n

计算差商f[x0,x1,?,xk]?对给定的x，由

f[x1,x2,?,xk]?f[x0,x1,?,xk?1]

xk?x0Nn(x)?f(x0)?(x?x0)f[x0,x1]?(x?x0)(x?x1)f[x0,x1,x2]?? ?(x?x0)(x?x1)?(x?xn?1)f[x0,x1,?,xn]计算出Nn(x)的值。

输出Nn(x)。 计算实例

给定sin11o=0.190809，sin12o=0.207912，sin13o=0.224951，构造牛顿插值函数并计算sin11o30’。

程序输入：

Input n value：2

Now input the (x_i,Y_i),i=0,…,2: 11 0.190809 12 0. 0.207912 13 0.224951 Now input x value:11.5 程序输出：

newton(11.500000)=0.199369

２

*说明：对n的最大限制在#define 项里说明，如：#define MAX_N 20 //最多有21个点。插值点数据用结构体，如下所示：

typedef struct tagPOINT { double x; double y; }POINT; 三、实验要求

1.独立编写较为通用的用牛顿插值公式求函数值的程序，并上机调试和运行。至少用编制的程序验证两个函数，各函数节点数n>4。记录所用的函数，及程序的输入输出数据并分析误差，

2.将调试好的程序及有关记录分析存盘，交给任课老师。

３

实验二 复化求积公式求积分

一、实验目的

理解数值积分的概念，掌握各种数值积分方法，学会用复化求积公式求积分及编程实现。 二、实验内容

n?111f(b)]的自适应算法求积用复化梯形公式Tn?h[f(a)??f(a?ih)?22i?1分。 算法描述

初始值n?m,h?(b?a)n；

n?111T2?Tn?h[f(a)??f(a?ih)?f(b)]；

22i?1T1＝T2＋100 while |T1－T2|>3? T1＝T2；

H?Hn?hn?f(xi?0n?1i?12)

T2＝(T1十H)/2，h?h2,n?2n end while 输出T2，n 计算实例

对于f(x)?sin(x)，在区间[0，1]上验证梯形公式的自适应公式。初始等分数m=100, 误差控制?<0.00001

程序输入：

Input the begin and end of x（a<=x<=b）：0 1 程序输出：

T=0.956447

４