2016年江苏省南通市高考数学一模试卷（解析版）

k≠0，m=0，

∴B，C关于原点对称，设B（x，kx），C（﹣x，﹣kx）， ∴x2=

，

又∵AB⊥AC，A（2，1）， ∴

?

=（x﹣2）（﹣x﹣2）+（kx﹣1）（﹣kx﹣1）=5﹣（1+k2）x2=5﹣

=0，

解得k=±，

由k=，直线y=x过点A（2，1）故k=不符合题意， 所以，此时直线l的直线方程y=﹣x．

18．如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点． （1）按下列要求建立函数关系： ①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数； ②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．

（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．

【考点】弧度制的应用；函数解析式的求解及常用方法；三角函数的最值． 【分析】（1）结合图形，①用sinα求出PO1、OP以及OQ的值，计算△OPQ的面积S即可；

②设OQ=t（km），∠OQP=2θ，用tanθ表示出OP，再计算△OPQ的面积S； （2）用（1）中②函数关系S=

=

，设x=，函数f（x）=x﹣x3，

求出f（x）的最大值即可求出S的最小值．

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【解答】解：（1）如图所示，

①设∠OPQ=α（rad）， 则sinα=∴PO1=OP=1+

， ， ，

）?tanα；

）（1+

?tanα=?）

?tanα；

OQ=OP?tanα=（1+

∴△OPQ的面积S=OP?OQ=?（1+②设OQ=t（km），∠OQP=2θ， 则tanθ=，

tan2θ===，

∴OP=OQ?tan2θ=，

∴△OPQ的面积S=OP?OQ=??t=；

（2）用（1）中②函数关系，S==，

设x=＞0，函数f（x）=x﹣x3，（x＞0）； 则f′（x）=1﹣3x2， 令f′（x）=0，解得x=∴x∈（0，x∈（

；

）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，

，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；

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∴当x=时，f（x）取得最大值是f（）=；

∴△OPQ的面积S的最小值是=．

19．已知函数f（x）=a+lnx（a∈R）． （1）求f（x）的单调区间；

（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间； （2）求出函数的最小值，通过讨论a的范围，从而求出函数的零点的个数即可． 【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=（

）′lnx+

?=

，

令f′（x）＞0，解得：x＞e﹣2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e﹣2， ∴f（x）在（0，e﹣2）递减，在（e﹣2，+∞）递增； （2）由（1）得：f（x）min=f（e﹣2）=a﹣， 显然a＞时，f（x）＞0，无零点， a=时，f（x）=0，有1个零点， a＜时，f（x）＜0，有2个零点．

20．若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列” （1）已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an﹣1． ①求{an}的通项公式；

②试判断{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论． （2）已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z（n∈N*），求证：{an}为“等比源数列” 【考点】数列的应用． 【分析】（1）①由an+1=2an﹣1，可得an+1﹣1=2（an﹣1），利用等比数列的通项公式即可得出．

②假设{an}为“等比源数列”，则此数列中存在三项：ak＜am＜an，k＜m＜n．满足代入化为：2m﹣k+1（2m﹣2+1）=2n﹣1+2n﹣k+1，利用数的奇偶性即可得出． （2）设等差数列{an}的公差为d，假设存在三项使得

，（k＜n＜m）．展开：2a1

=akan，

（n﹣1）+（n﹣1）2d=a1[（k﹣1）+（m﹣1）]+（k﹣1）（m﹣1）d，当n﹣1既是（k﹣1）

与m﹣1的等比中项，又是（k﹣1）与m﹣1的等差中项时，原命题成立． 【解答】解：（1）①∵an+1=2an﹣1，∴an+1﹣1=2（an﹣1）， ∴数列{an﹣1}是等比数列，首项为1，公比为2． ∴an﹣1=2n﹣1，

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∴an=2n﹣1+1．

②假设{an}为“等比源数列”，

则此数列中存在三项：ak＜am＜an，k＜m＜n． 满足

=akan，

∴（2m﹣1+1）2=（2k﹣1+1）（2n﹣1+1）， 化为：22m﹣2+2m=2k+n﹣2+2n﹣1+2k﹣1， ∴2m﹣k+1（2m﹣2+1）=2n﹣1+2n﹣k+1，

可知：左边为偶数，而右边为奇数，因此不可能成立． 故{an}不是“等比源数列”．

（2）设等差数列{an}的公差为d，

则an=a1+（n﹣1）d，a1≠0，an∈Z（n∈N*）， 假设存在三项使得∴

，（k＜n＜m）．

=[a1+（k﹣1）d][a1+（m﹣1）d]，

展开：2a1（n﹣1）+（n﹣1）2d=a1（k﹣1）+（m﹣1）+（k﹣1）（m﹣1）d，

当n﹣1既是（k﹣1）与m﹣1的等比中项，又是（k﹣1）与m﹣1的等差中项时，原命题成立．

【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4­1：几何证明选讲]

21．如图，圆O的直径AB=10，C为圆上一点，BC=6．过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE长．

【考点】与圆有关的比例线段． AC=【分析】由题意AC⊥BC，

=8，由已知得Rt△ACD∽Rt△ABC，从而AD=6.4，

利用切割线定理、勾股定理，由此能求出DE的长． 【解答】解：由题意AC⊥BC．AC=

=8，

∵过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，AD交圆与E，

∴∠ACD=∠ABC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC， ∴

=

， =6.4

∴AD=

又DC2=DE?6.4，DC2+6.42=64，

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