2016年江苏省南通市高考数学一模试卷（解析版）

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由题意作图辅助，从而可得点P是正三角形ABC的中心，从而可求平面向量的数量积．

【解答】解：由题意作图如右图， ∵

，

∴D，E分别为线段BC，AC的中点， ∴点P是正三角形ABC的中心， ∴||

|=?|BE|=?|=|BP|=

， ||

|cos

=6×=3，

，

?|AB|=2

，

且∠BPD=故

=|

故答案为：3．

13．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则

的值为

．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．

【解答】解：由y=x2，得y′=2x，切线方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1），即y=2x1x﹣x12， 由y=x3，得y′=3x2，切线方程为y﹣x23=3x22（x﹣x2），即y=3x22x﹣2x23， ∴2x1=3x22，x12=2x23， 两式相除，可得

=．

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故答案为：．

14．已知函数f（x）=2ax2+3b（a，b∈R），若对于任意x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则ab的最大值是

．

【考点】函数的值；二次函数的性质．

【分析】由对于任意x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，可得（a，b）对应的可行域，进而根据基本不等式得到ab的最大值．

【解答】解：函数f（x）=2ax2+3b图象的顶点为（0，3b）， 若若对于任意x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立， 则

，

其对应的平面区域如下图所示：

令Z=ab，则在第一，三象限a，b同号时ab取最大值， 由2a+3b=1，a＞0，b＞0得：ab≤故答案为：

=

，

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b﹣c）（a+b+c）=ab． （1）求角C的大小；

（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积． 【考点】余弦定理． 【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，把已知等式整理后代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．

（2）由正弦定理可得sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可求得sin（A﹣B）=0，根据﹣π＜A﹣B＜π，可求A﹣B=0，可得a=b=2，利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵（a+b﹣c）（a+b+c）=ab， ∴（a+b）2﹣c2=ab，即a2+b2﹣c2=﹣ab，

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∴cosC=

∵C为三角形内角， ∴C=

．

=﹣，

（2）∵c=2acosB，

∴由正弦定理可得 sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，

∴sin（A﹣B）=0，又﹣π＜A﹣B＜π， ∴A﹣B=0，可得：a=b=2， ∴S△ABC=absinC=

=

．

16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点．求证：

（1）BE⊥AC；

（2）BE∥平面ACD1．

【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质． 【分析】（1）推导出BA1=BC1，点E是A1C1的中点，从而BE⊥A1C1，由此能证明BE⊥AC．

BD，（2）连结B1D1，交A1C1于点E，连结AC，交于点O，连结OD1，推导出四边形BED1O

是平行四边形，由此能证明BE∥平面ACD1． 【解答】证明：（1）∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形， ∴BA1=BC1，

∵点E是A1C1的中点， ∴BE⊥A1C1，

∵AC∥A1C1，∴BE⊥AC．

（2）连结B1D1，交A1C1于点E，连结AC，BD，交于点O，连结OD1， ∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形， ∴D1E

BO，∴四边形BED1O是平行四边形，

∴BE∥OD1，

∵OD1?平面ACD1，BE?平面ACD1， ∴BE∥平面ACD1．

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17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

过点A（2，1），离

心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于B，C两点（异于点A），线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．

【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【分析】（1）由椭圆的离心率公式及b2=a2﹣c2，及点A（2，1），联立即可求得a，b及c的值，即可求得椭圆方程；

（2）将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得xB+xC=﹣

，根据线段BC被y轴平分，即xB+xC=0，即可求得m的值，根据向量的坐标表示

求得

?

=0，即可求得k的值，将点A代入直线方程，当k=，不满足，故求得k的值．

【解答】解：（1）由条件知椭圆离线率e==，

∴b2=a2﹣c2=a2，将点A（2，1），代入椭圆方程得

解得，

故椭圆方程为：；

（2）将直线l：y=kx+m（k≠0）代入椭圆方程，x2+4（kx+m）2﹣8=0，

整理得：（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣8=0， 线段BC被y平分得：xB+xC=﹣

=0，

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