2016年江苏省南通市高考数学一模试卷（解析版）

2016年江苏省南通市高考数学一模试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，0，1}，A∩B= ．

2．若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，则a的值为 ．

3．从1，2，3，4这四个数中依次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是 ．

4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为

5．为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间[0，4500]上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，有 户月消费额在1000元以下

6．设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6= ． 7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线

过点P（1，1），其

一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为 ．

8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1﹣ADE的体积为 ． 9．=若函数f（x）

b∈R） （a，为奇函数，则f（a+b）的值为 ．

10．已知，则的值是 ．

第1页（共21页）

11．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m=0上存在点P使得PA=PB，则实数m的取值范围是 ． 12．已知边长为6的正三角形ABC，

，AD与BE交点P，则

的值为 ．

13．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则

的值为 ．

14．已知函数f（x）=2ax2+3b（a，b∈R），若对于任意x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则ab的最大值是 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b﹣c）（a+b+c）=ab． （1）求角C的大小；

（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积． 16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点．求证：

（1）BE⊥AC；

（2）BE∥平面ACD1．

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A（2，1），离

心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于B，C两点（异于点A），线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．

第2页（共21页）

18．如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点． （1）按下列要求建立函数关系： ①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数； ②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．

（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．

19．已知函数f（x）=a+lnx（a∈R）． （1）求f（x）的单调区间；

（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

20．若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列” （1）已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an﹣1． ①求{an}的通项公式；

②试判断{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论． （2）已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z（n∈N*），求证：{an}为“等比源数列”

【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4­1：几何证明选讲]

21．如图，圆O的直径AB=10，C为圆上一点，BC=6．过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE长．

[选修4­2：矩阵与变换] 22．已知矩阵

，求逆矩阵M﹣1的特征值．

[选修4­4：坐标系与参数方程]

第3页（共21页）

23．在极坐标系中，已知点，圆C的方程为（圆心为点C），求

直线AC的极坐标方程．

[选修4­5：不等式选讲]

24．已知a≥0，b≥0，求证：a6+b6≥ab（a4+b4）．

【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25．SA⊥平面ABCD，AB=1，AD=AS=2，如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P是棱SD上一点，且

．

（1）求直线AB与CP所成角的余弦值； （2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

26．已知函数f0（x）=x（sinx+cosx），设fn（x）是fn﹣1（x）的导数，n∈N*． （1）求f1（x），f2（x）的表达式；

（2）写出fn（x）的表达式，并用数学归纳法证明．

第4页（共21页）