专题：运动图像 追及与相遇问题

C.若s0=s1,两车相遇1次 D.若s0=s2,两车相遇1次

8. 解析:由图线可知:在T时间内，甲车前进了s2，乙车前进了s1?s2;若s0?s2?s1?s2，即s0?s1，两车不会相遇，所以选项A正确;若s0?s2?s1?s2，即s0?s1，在T时刻之前，乙车会超过甲车，但甲车速度增加的快，所以甲车还会超过乙车，则两车会相遇2次，所以选项B正确;若s0?s2?s1?s2即s0?s1两车只能相遇一次，所以选项C正确，D错误; 故选ABC. 答案 ABC

课前热身：

一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车．

(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ (2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？

分析 汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度保持不变，开始汽车的速度小于自行车的速度，两2

车相距越来越远;只有当汽车的速度大于自行车的速度时，两车距离才会缩小.因此，两车速度相等时相距最远. 解析:(1)解法一:物理分析法 v汽1=at1=v自 t1?v自611?s=2 s Δs=v自t1-at12=6×2 m-×3×22 m=6 m. 22a3(2)当汽车的位移与自行车相等时，汽车追上自行车. 2v122?6at2=v自t2 t2?自?s=4 s v汽2=at2=3×4 m/s=12 m/s 2a3 解法二:图象法 (1)两车的速度图象如图所示，由图可看出，在两车速度相等的t1时刻，两车的位移(速度图线与x轴所围面积)之差达最大. 5 t1?v自611?s=2 s Δs=v自t1-at12=6×2 m-×3×22 m=6 m. 22a3(2)当两车的位移(速度图线与x轴所围面积)相等时，两车相遇.由图可知，t2=2t1=2×2 s=4 s v汽2=at2=3×4 m/s=12 m/s 解法三: 数学求极值法（配方法） (1)Δs=v自t1-1213at1=6t1-×3t12= -(t1-2)2+6 222当t1=2 s时，两车间距离最大为6 m. (2)当汽车的位移与自行车相等时，汽车追上自行车. 2v122?6at2=v自t2 t2?自?s=4 s 2a3v汽2=at2=3×4 m/s=12 m/s. 解法四:数学求极值法（二次函数求极值） ⑴设汽车在追上自行车之前经t时间两车相距最远， 123at ∴?S?6t?t2， 22b6?=2s时，△s最大. 由二次函数求极值条件知，t??2a334?(?)?0?6224ac?b2∴?Sm=m=6m ?34a4?(?)212⑵汽车追上自行车时，二车位移相等，则有vt??at? 236t??t?2，t?=4s; v??at?=3×4=12m/s 2∵?S?S2?S1?v自t?

6

解法五:相对运动法 (1)取汽车为参考系，自行车做初速度为6 m/s、加速度为-3 m/s2的匀减速运动.此时自行车位移最大时，两车相距最远. s=v0t1+1233at1=6×t1-t12=-(t1-2)2+6 222t1=2 s时，位移s最大. (2)两车相遇，即自行车的位移为零. s=v0t2+123at2=6×t2-t22=0 t2=4 s 22v汽2=at2=3×4 m/s=12 m/s.

方法总结 解决追及和相遇问题的常用方法

(1)物理分析法抓住―两物体能否同时到达空间某位置‖这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景

(2)相对运动法巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系

(3)极值法设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相碰. (4)图象法将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解.

1．如图所示，甲、乙两车沿着同一条平直公路同向行驶，甲车以速度20 m/s做匀速运动，乙车原来速度为4 m/s，从距甲车114 m处以大小为1 m/s2的加速度做匀加速运动．求：

(1)追及前甲、乙两车何时相距最远？ (2)经多长时间乙车能追上甲车？

1.解析：(1)追及前甲、乙两车相距最远时，二者速度相等. 令v乙＝v甲，即v0＋at＝20，解得t＝16 s.

(2)设经时间t1乙车追上甲车: 对甲车：x甲＝v甲t1＝20t1，对乙车：x乙＝x甲＋114

112

又有x乙＝v0t1＋at2，依题意vt＋at＝20t1＋114 01

2121

整理得t21－32t1－228＝0，解得t1＝38 s(t1＝－6 s舍去)． 答案：(1)16 s (2)38 s

2. 一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内．问：

(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？ (2)警车发动后要多长时间才能追上货车？

2解析：(1)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们间的距离最大，设警车发动后经过t1时间

1011

两车的速度相等．则t1＝ s＝4 s，x货＝(5.5＋4)×10 m＝95 m，x警＝at22.5×42 m＝20 m 1＝×2.522 所以两车间的最大距离，Δx＝x货－x警＝75 m.

7

(2)v0＝90 km/h＝25 m/s，当警车刚达到最大速度时，运动时间t2＝

警

25 s＝10 s，x货′＝(5.5＋10)×10 m＝155 m,x2.5

11′＝at22.5×102 m＝125 m 2＝×22

因为x货′>x警′，故此时警车尚未赶上货车，且此时两车距离Δx′＝x货′－x警′＝30 m，警车达到最大速度后做

Δx′

匀速运动，设再经过Δt时间追赶上货车，则Δt＝＝2 s

v0－v

1

[另155+10t3＝×2.5×102 +25t3?t3＝2s,t=t2+t3＝12s,t3相当于Δt]

2

所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12 s才能追上货车． 答案：(1)75 m (2)12 s

3．A火车以v1＝20 m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100 m处有另一列火车B正以v2＝10 m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动．要使两车不相撞，a应满足什么条件？

3.解析：考虑临界条件：两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇，则v2＝v1－a′t

1

对A：x1＝v1t－a′t2，对B：x2＝v2t，又有：x1＝x2＋x0

22

v1－v2－2a′＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，则a＞0.5 m/s2（取大于是因匀减速，a′与v反向）

2x02×100

(另解：两车恰不相撞的条件是两车相对静止时相遇，则以B为参照物，v2－v20＝2ax易得

2

v1－v2a′＝＝0.5 m/s2，故a＞0.5 m/s2) 答案：a＞0.5 m/s2

2x0

4．在一次警车A追击劫匪车B时，两车同时由静止向同一方向加速行驶，经过30 s追上。两车各自的加速度为aA＝15 m/s2，aB＝10 m/s2，各车最高时速分别为vA＝45 m/s，vB＝40 m/s，问追上时两车各行驶多少路程？原来相距多远？

4．解析：如图所示，以A车的初始位置为坐标原点，Ax为正方向，设L为警车追上劫匪车所走过的全程，l为劫匪车走过的全程。则两车原来的间距为ΔL＝L－l 设两车加速运动用的时间分别为tA1、tB，以最大

1

速度匀速运动的时间分别为tA、tB，则vA＝aA tA，解得tA1＝3 s则tA＝27 s，同理tB＝4 s，tB＝26 s

1

2

1

2

1

2

1

警车在0～3 s时间段内做匀加速运动，L1＝aA tA2 在3～30 s时间段内做匀速运动，则L2＝vA tA

212

1

警车追上劫匪车的全部行程为L＝L1＋L2＝aA tA2＋vA tA＝1 282.5 m，同理劫匪车被追上时的全部行程为l＝

2121

l1＋l2＝aB tB2＋vB tB＝1 120 m，两车原来相距ΔL＝L－l＝162.5 m。答案 1282.5 m 1120 m 162.5 m

212 5．如图所示，甲、乙两个同学在直跑道上练习4×100 m接力，他们在奔跑时有相同的最大速度。乙从静

止开始全力奔跑需跑出25 m才能达到最大速度，这一过程可看作匀变速直线运动，现在甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出。若要求乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，则：

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